沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第4章 特征值与特征向量 4.4 实对称矩阵的对角化

$4.4实对称矩阵的对角化实对称矩阵的性质二、用正交矩阵使实对称矩阵对角化的方法三、小结

§4.4 实对称矩阵的对角化 一、 实对称矩阵的性质 二、用正交矩阵使实对称矩阵对 角化的方法 三、小结

复习：对称矩阵的定义（39页实对称矩阵的性质一、定理1实对称矩阵的特征值都是实数定理2实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交定理3设2为实对称矩阵的n，重的特征值，则矩阵A-,E的秩R(A-a,E)=n-n,，从而恰好有 n,个属于特征值几，的线性无关的特征向量任意实对称矩阵，必可以对角化

一、实对称矩阵的性质 定理1 实对称矩阵的特征值都是实数. 定理2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交. 定理3 设 i 为实对称矩阵的 i n 重的特征值，则矩阵 A E  i 的秩 ( ) i i R A E    n n ，从而恰好有 i n 个属于特 征值 i 的线性无关的特征向量. 复习：对称矩阵的定义（39页） 任意实对称矩阵,必可以对角化

21121对角化1例1 试将矩阵 A=21解由于 A为实对称矩阵,所以必可以对角化2-21112-元1A-AE=-(α-1)2(α-4)-12-1故 A 的特征值为 =, =1, = 4001018

解 由于 A 为实对称矩阵,所以必可以对角化. 2 2 1 1 1 2 1 ( 1) ( 4) 1 1 2                A E 故 A 的特征值为 1 2 3       1, 4 例1 试将矩阵 2 1 1 1 2 1 1 1 2            A 对角化

对于 = =1，求解齐次线性方程组(A-1E)x=0000A-E=00得基础解系为0n =,n2 =00108

1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0                        A E 得基础解系为 1 2 1 1 1 , 0 0 1                           对于 1 2    1 ，求解齐次线性方程组 ( 1 ) A E x   0

对于 =4，求解齐次线性方程组(A-4E)x=0-2-21101.0301-21-3-1A-4E=1-0000-2-337得基础解系为N3 =001018

对于 3   4 ，求解齐次线性方程组 ( 4 ) A E x   0 2 1 1 1 1 2 1 0 1 4 1 2 1 0 3 3 0 1 1 1 1 2 0 3 3 0 0 0                                           A E 得基础解系为 3 1 1 1            