第四章特征值与特征向量$4.1向量的内积向量的内积与长度正交向量组三施密特正交化方法四、正交矩阵五、小结001018
第四章 特征值与特征向量 §4.1 向量的内积 一、 向量的内积与长度 二、 正交向量组 三、 施密特正交化方法 四、 正交矩阵 五、 小结
一、向量的内积与长度定义1：设有n维向量α= (a1,a2..an)T β= (bl,b2,.b称数 ab+ab,+…+a,b，为向量 α与的内积，记作[α,β].即[α, β]=ab, +a,b, +...+a,b, =α'β= βTα000?
一、向量的内积与长度 定义1:设有n维向量 1 2 1 2 , , , , T T a a a b b b n n 称数 1 1 2 2 n n a b a b a b 为向量 与 的内积 ， T T 1 1 2 2 , n n a b a b a b 记作 , .即
向量的内积与长度一、注当为维行向量时，即α=(a,a2,".,an)β=(bi,bz,..,bn)α与β 的内积[α, β]=ab +a,b, +...+ab, =aβT = βα
注 当 为 , n维行向量时，即 a a a 1 2 , , , n b b b 1 2 , , , n 与 的内积 T T 1 1 2 2 , n n a b a b a b 一、向量的内积与长度
内积具有下列性质(1对称性[α,β]=[β,α]（2）非负性当α≠时，α,α]>0.事实上[α,α]=0 的充分必要条件是α=0[α+β,]=[α,]+[β,]（3）线性性[aα, β]= [α, β]
（1）对称性 , , 的充分必要条件是 0 , 0 , 0 0 （3）线性性 , , , , , （2）非负性 当 时， .事实上， 内积具有下列性质：
对于任意一个n维向量α=(a,a2,,a,)，称定义2[α,α]为向量α的长度，记作αl，即[αl= V[α,α] = Ja +a +..+a?
定义2 对于任意一个n维向量 T 1 2 , , , n a a a ，称 , 为向量 的长度，记作 ，即 2 2 2 1 2 , n a a a