沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第3章 向量与线性方程组 3.6 线性方程组解的结构

8 3.6 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构

§3.6 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构

1.有解的条件(2)=0A一。齐次线性方程组x2.解的性质nxlmxlmxn3.基础解系4.解的结构复习：1.齐次线性方程组（2）有解的条件定理1：齐次线性方程组A1mxnXnxl=0mx1有非零解台r(A)<n定理2：齐次线性方程组AmxnXnxl=0mx只有零解nx1mxnY台r(A)= n推论：齐次线性方程组 Ann~mx1=0mx1只有零解介即A≠0，即系数矩阵A可逆

一. 齐次线性方程组 1 1 0 (2) A x m n n m     复习：1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组 A x m n n m    1 1  0 有非零解   r A n   定理2：齐次线性方程组 A x m n n m    1 1  0 只有零解   r A n   推论：齐次线性方程组 A x n n n n    1 1  0 只有零解  即 A  0, 即系数矩阵A可逆。 1. 有解的条件 2. 解的性质 3. 基础解系 4. 解的结构

线性方程组解的性质(1)0A齐次线性方程组.x.mx1nxlmxn1.齐次线性方程组解的性质(1)若X = 51,X = 52均为（1）的解则x= Si + 52也是（1）的解（2）若×=为（1）的解，k为实数，则x=k 也是（1）的解

一、线性方程组解的性质 1．齐次线性方程组解的性质 （1）若 均为（1）的解则 也是（1）的解 （2）若 为（1）的解， k 为实数，则 也是（1）的解． 1 2 x   , x    1  2 x x   x  k 齐次线性方程组 1 1 0 (1) A x m n n m    

性质3：若1,5，是（2）的解，则x=k,,+k,,仍然是（2）的解。（可推广至有限多个解）证因5i,52 AX =O 的解，所以 A5i =O, A5 =O,从而A(k≤,+k2≤2) = A(k) + A(k22)=kAi +k,A2=k,O+k,O=O故 ki+k2 也是 AX=O 的解

（可推广至有限多个解） 性质3：若   1 2 , 是（2）的解， 则 x k k   1 1 2 2   仍然是（2）的解。 1 2  , AX O 1 2 A O A O     , , 1 1 2 2 1 1 2 2 A k k A k A k ( ) ( ) ( )        1 1 2 2 1 2      k A k A k O k O O   . 1 1 2 2 k k    AX O 的解，所以 从而 故 也是 的解。 证 因

2.基础解系设1,52,,5n-r 是 AX = 0 的解，满足(1) SiS2，· -,n-r 线性无关;(2) AX =0 的任一解都可以由 5i,52,,5n-r线性表示。则称5i,52,…,5"-， 是 AX = 0 的一个基础解系。显然，AX=O 的一个基础解系实际上是 AX=O所有解向量的一个 极大线性无关组

2. 基础解系 设 1 2 , , , n r     是 AX  0 的解，满足 （1 , , , ）   1 2 n r  线性无关； （2 0 ）AX  的任一解都可以由 1 2 , , , n r     线性表示。 则称 1 2 , , , n r     是 AX  0 的一个基础解系。 AX O 的一个基础解系实际上是 AX O 所有解向量的一个 显然， 极大线性无关组