lim(x2 +1)x2 +122+15lim18182 3x3 - 2x2 +2lim(3x -2x2 +2)技巧（2）：对于求有理分式函数当x→xo的极限时，只要带入xo后分母不等于0，也可直接带入求极限，sinx-cosx随堂练习1求lim随堂练习1：在学习通平台cos2xH发布，学生以拍照的方式作时，分子、分母的极限都是零，所答，方便实时纠正明显错解：因为当x→4误。以先对分式进行化简，有sinx-cosx_sinx-cosxcos2xcos"x-sin"xsinx-cosx(cos x-sin x)(cos x +sin x)◆时，可以约去这个不为零的公因子，所以当x→A-1sinx-cosx=limlim2cos2xr-=cosx+sinxx技巧（3）：对于求有理分式函数当x→80的极限时，3个技巧：在讲授知识的过分子分母同时除以x的最高次幂程中随时总结技巧，有助于定理4（复合函数极限的运算法）学生提高极限的计算能力。设复合函数y=f[g(x)是由函数u=g(x)与函数y=u)复合而成，若limg(x)=uo，且g(x)t0，limf(u)=A，则：lim[g(x))=A.（当x→0也适用）推论（x→xo或x→）设limf(x)=A（A>0），limg(x)=B，则:limf(x)a() = AB,2.极限存在准则定理1（单调有界原理）单调有界数列必有收敛难点：极限存在准则。单调递增有上界的数列必有极限，单调递减有下界的数列必有极限.1(ta)例3设a>0，ao>0，a=n=0,1,2,..，证a,+a明lima,=a证：单调减少a-a,≤0单调性：a..-a2a.2(a.有下界有界性：()[-)=a2lima,lima.+lima.+lim-a.d.lima,=VaA=+Va定理2（夹逼定理）如果数列(an)、(bm)、(cn）满足下列条件：26
26 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 lim( 1) 1 2 1 5 lim 3 2 2 lim(3 2 2) 18 18 x x x x x x x x x . 技巧（2）：对于求有理分式函数当 x x0 的极限时， 只要带入 x0 后分母不等于 0，也可直接带入求极限. 随堂练习 1 求 4 sin cos lim x cos 2 x x x ． 解: 因为当 4 x 时，分子、分母的极限都是零，所 以先对分式进行化简，有 2 2 sin cos sin cos cos 2 cos sin x x x x x x x sin cos (cos sin )(cos sin ) x x x x x x ， 当 4 x 时，可以约去这个不为零的公因子，所以 4 4 sin cos 1 2 lim lim x cos 2 x cos sin 2 x x x x x ． 技巧（3）：对于求有理分式函数当 x 的极限时， 分子分母同时除以 x 的最高次幂. 定理 4（复合函数极限的运算法） 设复合函数 y = f [g(x)] 是由函数 u = g(x) 与函数 y = f(u) 复合而成，若 ( ) 0 lim0 g x u x x ，且 g(x) u0， f u A u u lim ( ) 0 ， 则： f g x A x x lim ( ) 0 .（当 x 也适用）. 推论（ x x0 或 x ）设 lim f (x) A （A > 0）， lim g(x) B ，则： g x B f x A ( ) lim ( ) . 2. 极限存在准则 定理 1 （单调有界原理）单调有界数列必有收敛． 单调递增有上界的数列必有极限，单调递减有下界的数 列必有极限. 例 3 设 a > 0，a0 > 0， n n n a a a a 2 1 1 ，n = 0, 1, 2, .，证 明 an a n lim . 证： 定理 2 （夹逼定理） 如果数列 {an}、 {bn}、 {cn} 满 足下列条件： 随堂练习 1：在学习通平台 发布，学生以拍照的方式作 答，方便实时纠正明显错 误。 3 个技巧：在讲授知识的过 程中随时总结技巧，有助于 学生提高极限的计算能力。 难点：极限存在准则
（1）自某项起，有bn≤an≤Cn(2)limb,=a,limc,=a那么数列（an）极限存在，且lima,=a例4：组织学生先进行观察，111例4求极限lim尝试进行放缩找到左右两n2+2Vn'+nn+1侧的数列，鼓励学生大胆尝解：试。1111n<n2+2n'+nVn°+1Vn+nVn+11112limlim≤limVn+1Vn+2In+nn+1Vn'+n1≤lim≤Vn+2Vn+1Yn'+n重点2：两个重要极限。3.两个重要极限→lim1+lim(1+x)x=e(1)=In(1 + x)例5求limx-0+In(1 + x)n(1 + x)-lim解：limx-0xx-01= lim In(1+ x)* = Ine=1x-→0er-1例6求limx→0A解：令u=e-l,即x=ln(1+u),则当x→0时，u→0，e-1u于是lim=limX→0u-0 ln(1+u)x利用例5的结果，可知上述极限为1，er-1即limx→0xsinx(2)lim1→0Xsinx证首先注意到函数对于一切x0都有意义，并x且当x改变符号时，函数值的符号不变，即sinx是是一个偶函x数，所以只需对x从右侧接近于零时来论证，即只需证明sinx=1：作单位圆，limX→0*X27
27 （1）自某项起，有 bn ≤ an ≤ cn （2） bn a n lim , cn a n lim 那么数列 {an} 极限存在，且 an a n lim 例 4 求极限 n n n n n 2 2 21 . 2 1 1 1 lim 解： 3. 两个重要极限 （1） 例 5 求 0 ln(1 ) limx x x ． 解： 0 0 ln(1 ) 1 lim lim ln(1 ) x x x x x x 1 0 limln(1 ) x x x ln e 1． 例 6 求 0 1 lim x x e x ． 解： 令 1 x u e ，即 x ln(1 u) ， 则当 x 0 时，u 0 ， 于是 0 0 1 lim lim ln(1 ) x x u e u x u ， 利用例 5 的结果，可知上述极限为1， 即 0 1 lim 1 x x e x ． （2） 0 sin lim 1 x x x ． 证 首先注意到函数 sin x x 对于一切 x 0 都有意义，并 且当 x 改变符号时，函数值的符号不变，即 sin x x 是一个偶函 数，所以只需对 x 从右侧接近于零时来论证，即只需证明 0 sin lim 1 x x x ．作单位圆， 例 4：组织学生先进行观察， 尝试进行放缩找到左右两 侧的数列，鼓励学生大胆尝 试。 重点 2：两个重要极限
元设圆心角/BOC=x过点B的切线与0<x<=2OC的延长线相交于D，又CAIOB，由图知：AOBC的面积<扇形OBC的面积<△OBD的面积，11故≥sinx<x<=tanx，即sinx<x<tanx,222不等号各边都除以sinx（sinx>0），1xsinx得1<<1，从而或cosx<Nxsinxcosx)212(xsinxX0<1-<1-cOSx=221sin≤2=(2)2x2x2由 limlim0=0，根据夹逼准则2可得-=0，X~0* 2→0*sinxsinxlim=，综上所述，lim=1x→0*xx-→0xsin3x例7求limx→0x注意：提醒学生重要极限的解：令u=3x，则当x→0时，u→0，所以应用不局限在自变量x。sin3xsin 3xsinu1=3×1=3.=3limlim=3lim3xx-→0x1-+0→0u注意：如果正弦符号后面的变量与分母的变量相同，且都趋于零，则有sin f(x)tan f(x)1limlim=1.f(x)f(x)f(x)→0f(x)→01-cosx例8求limx2X→02sin24sin11-cosx22解：lim=lim-lim=X22x→0圆x→0x→0)2)2snsin11=-limlim/2x-2 x→0三x→022/1==x1 =-22arcsinx求lim随堂练习2随堂练习2：在学习通平台xX-→028
28 设圆心角 BOC x 0 2 x ，过点 B 的切线与 OC 的延长线相交于 D ，又CA OB ，由图知： OBC 的面积 扇形OBC 的面积 OBD 的面积， 故 1 1 1 sin tan 2 2 2 x x x ，即sin x x tan x ， 不等号各边都除以sin x （sin x 0）， 得 1 1 sin cos x x x 或 sin cos 1 x x x ，从而 2 2 2 sin 0 1 1 cos 2 sin 2 2 2 2 x x x x x x ． 由 2 0 lim 0 x 2 x ， 0 lim 0 0 x ， 根 据 夹 逼 准 则 2 可 得 0 sin lim 1 x x x ，综上所述， 0 sin lim 1 x x x ． 例 7 求 0 sin 3 limx x x ． 解： 令u 3x ，则当 x 0 时，u 0 ，所以 0 0 0 sin 3 sin 3 sin lim 3lim 3lim 3 1 3 x x 3 u x x u x x u ． 注意：如果正弦符号后面的变量与分母的变量相同，且 都趋于零，则有 ( ) 0 sin ( ) lim 1 ( ) f x f x f x ， ( ) 0 tan ( ) lim 1 ( ) f x f x f x ． 例 8 求 2 0 1 cos limx x x ． 解： 2 2 2 2 2 0 0 0 2sin sin 1 cos 1 2 2 lim lim lim 2 2 x x x x x x x x x 2 2 0 0 sin sin 1 1 2 2 lim lim 2 2 2 2 x x x x x x 1 2 1 1 2 2 ． 随堂练习 2 求 0 arcsin limx x x ． 注意：提醒学生重要极限的 应用不局限在自变量 x。 随堂练习 2：在学习通平台
解：令u=arcsinx，则x=sinu，当x→o时，发布，学生以拍照的方式作arcsinxu答，方便实时纠正明显错u→0，所以lim= lim=1.误。x0xn-0 sinu三、课程小结1.两个重要极限2.函数极限的定理（夹逼、单调有界必收敛）四、布置作业1.教材的课后习题2.学习通上对应的作业五、板书设计极限的四则运算法赠（重点）1.5极限的运算法则极限存在的条件1.6极限存在准及两个重要极限两个重要极限（重点）教学反思1.成功之处我通过例题和课堂练习，大部分学生能够准确地进行极限运算，表明这一目标基本达成。我利用了多媒体演示、电子手写板板书等现代化教学手段辅助教学，能够帮助学生更好地理解抽象的四则运算和重要极限运算方法。例如，在讲解极限的运算法则时，可以通过一些简单的极限例子，让学生直观地感受法则的应用。2.存在问题课堂时间有限，无法让每个学生都充分参与讨论和探究，部分学生的积极性没有得到充分发挥。作业中反映出学生对一些复杂函数的极限计算还存在困难，需要进一步加强练习和辅导。3.改进措施针对学生在作业中出现的问题，及时进行反馈和辅导。可以安排专门的答疑时间，或者通过在线平台进行答疑，帮助学生解决学习中遇到的困难。29
29 解： 令 u arcsin x ，则 x sin u ，当 x 0 时， u 0 ，所以 0 0 arcsin lim lim 1 x u sin x u x u ． 三、课程小结 1. 两个重要极限 2. 函数极限的定理（夹逼、单调有界必收敛） 四、布置作业 1. 教材的课后习题 2. 学习通上对应的作业 五、板书设计 发布，学生以拍照的方式作 答，方便实时纠正明显错 误。 教学反思 1. 成功之处 我通过例题和课堂练习，大部分学生能够准确地进行极限运算，表明这一目标基本达 成。我利用了多媒体演示、电子手写板板书等现代化教学手段辅助教学，能够帮助学生更 好地理解抽象的四则运算和重要极限运算方法。例如，在讲解极限的运算法则时，可以通 过一些简单的极限例子，让学生直观地感受法则的应用。 2. 存在问题 课堂时间有限，无法让每个学生都充分参与讨论和探究，部分学生的积极性没有得到 充分发挥。作业中反映出学生对一些复杂函数的极限计算还存在困难，需要进一步加强练 习和辅导。 3. 改进措施 针对学生在作业中出现的问题，及时进行反馈和辅导。可以安排专门的答疑时间，或 者通过在线平台进行答疑，帮助学生解决学习中遇到的困难
授课题目81.7无穷小与无穷大课时：2学时知识目标：1．能够明确理解无穷小和无穷大的基本概念。在极限的过程中，理解函数值趋近于零或无限增大的情况。2能够理解并掌握无究小的阶的比较能力目标：培养学生的计算与应用能力。学生能够运用无穷小与无穷大求解极限问题，如利用无穷小进行函数的极限化简、利用无穷大判断函数的增长趋教学目标势等。素养目标：培养学生对古诗词文化的自信以及正确的价值取向。在讲解无穷小时引入中国古诗词，利用诗词再一次让学生感受故人描述无穷小时的意境美，进而让学生充分感受中国古诗词所带给我们的文化是多么值得骄傲，培养学生的文化自信。通过无穷多个无穷小的例子让学生明白团结的力量。教学重点：无穷小和无穷大的性质。重点难点教学难点：无穷小的阶的比较。教学方法：讲授法、讨论法、案例分析法。方法手段教学手段：多媒体、学习通平台。导入新课数学超识诊联文学与人生版理有限个无限个无穷小及其性质接+举例脱期无穷小与有界变量的乘积低阶高阶讲解新知无穷小阶的比较讲授+举引导和说明+随练习自主思考无穷小与无穷大同阶等价教学设计有限个无限个无穷大及其性质授+单例说明非0常数与无穷大的乘积课程小结布置作业板书设计教学反思教学过程教学活动一、导入新课30
30 授课题目 §1.7 无穷小与无穷大 课时：2 学时 教学目标 知识目标： 1. 能够明确理解无穷小和无穷大的基本概念。在极限的过程中，理解 函数值趋近于零或无限增大的情况。 2. 能够理解并掌握无穷小的阶的比较。 能力目标： 培养学生的计算与应用能力。学生能够运用无穷小与无穷大求解极限 问题，如利用无穷小进行函数的极限化简、利用无穷大判断函数的增长趋 势等。 素养目标： 培养学生对古诗词文化的自信以及正确的价值取向。在讲解无穷小时 引入中国古诗词，利用诗词再一次让学生感受故人描述无穷小时的意境美， 进而让学生充分感受中国古诗词所带给我们的文化是多么值得骄傲，培养 学生的文化自信。通过无穷多个无穷小的例子让学生明白团结的力量。 重点难点 教学重点：无穷小和无穷大的性质。 教学难点：无穷小的阶的比较。 方法手段 教学方法：讲授法、讨论法、案例分析法。 教学手段：多媒体、学习通平台。 教学设计 教学过程 教学活动 一、导入新课