线性代数教案第2章矩阵及其运算授课题目84.1预备知识课次：161.知识目标（1）了解内积、内积的性质；（2）掌握施瓦茨不等式、向量长度、单位向量、正交、向量夹角等概念；（3）掌握施密特正交化方法2.能力目标（1）计算技能：学生应能够准确计算给定向量的内积，包括直接计算和通过坐标计算两种方式；能够运用向量内积的运算性质进行复杂的计算。（2）问题解决能力：学生应能够利用向量内积的概念和性质解决相关问题，如判断两个向量是否垂直、计算向量的夹角等；能够将实际问题抽象为向量内积问题，并运教学目标用所学知识进行求解。（3）抽象思维和逻辑推理能力：通过学习向量内积的概念和性质，培养学生的抽象思维能力；引导学生运用逻辑推理方法解决向量内积问题，提高他们的逻辑推理能力。3.情感与态度目标（1）学习兴趣和动力：通过生动有趣的教学内容和教学方法，激发学生的学习兴趣和求知欲；引导学生关注向量内积在实际问题中的应用，增强他们的学习动力。（2）严谨的数学态度：在教学过程中，强调向量内积计算的准确性和严谨性，培养学生的严谨数学态度；鼓励学生勇于质疑、敢于探索，培养他们的批判性思维和创新能力。教学重点施密特正交化方法教学难点施密特正交化方法教学手段板书与多媒体结合、学习通教学方法讲授法、练习巩固法教学时数2课时备注教学过程一、复习引入之前学习过一些向量的运算，内积是怎样的一种运算呢？二、讲授新课（一）向量的内积在空间解析几何中，向量a和b的数量积或称内积定义为a·b=[ab[cos(a,b),其坐标表达式为a.b=ab +a,b +ab,其中a和b的坐标分别为a=(a,az,a,),b=(b,b,b,).由此可得计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 授课题目 §4.1 预备知识 课次：16 教学目标 1.知识目标 （1）了解内积、内积的性质； （2）掌握施瓦茨不等式、向量长度、单位向量、正交、向量夹角等概念； （3）掌握施密特正交化方法 2.能力目标 （1）计算技能：学生应能够准确计算给定向量的内积，包括直接计算和通过坐标计 算两种方式；能够运用向量内积的运算性质进行复杂的计算。 （2）问题解决能力：学生应能够利用向量内积的概念和性质解决相关问题，如判断 两个向量是否垂直、计算向量的夹角等；能够将实际问题抽象为向量内积问题，并运 用所学知识进行求解。 （3）抽象思维和逻辑推理能力：通过学习向量内积的概念和性质，培养学生的抽象 思维能力；引导学生运用逻辑推理方法解决向量内积问题，提高他们的逻辑推理能力。 3.情感与态度目标 （1）学习兴趣和动力：通过生动有趣的教学内容和教学方法，激发学生的学习兴趣 和求知欲；引导学生关注向量内积在实际问题中的应用，增强他们的学习动力。 （2）严谨的数学态度：在教学过程中，强调向量内积计算的准确性和严谨性，培养 学生的严谨数学态度；鼓励学生勇于质疑、敢于探索，培养他们的批判性思维和创新 能力。 教学重点 施密特正交化方法 教学难点 施密特正交化方法 教学手段 板书与多媒体结合、学习通 教学方法 讲授法、练习巩固法 教学时数 2 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 之前学习过一些向量的运算，内积是怎样的一种运算呢？ 二、讲授新课 （一）向量的内积 在空间解析几何中，向量 a 和 b 的数量积或称内积定义为 a b a b a b = cos( , ) , 其坐标表达式为 1 1 2 2 3 3 a b = + + a b a b a b ， 其中 a 和 b 的坐标分别为 1 2 3 a = ( , , ) a a a ， 1 2 3 b = ( , , ) b b b . 由此可得
线性代数教案第2章矩阵及其运算aba, +a,+a,,cos(a,b)=a=ya.a=[al[6]现在将上面的概念推广到n维向量(br)(a)azba定义1，向量α与β的内积记作设n维向量α=Ob(α,β)，规定(α,β)=ab+a,b,+..+a,b,=α"β内积是向量间的一种运算，其运算结果是一个实数根据定义，容易验证α与β的内积具有下列性质：(1）对称性：(α,β)=(β,α)：(2)线性性：(α+β,)=(α,)+(β,r);(α,β)=(α, β)=(α, β) ;(3）非负性：（α,α)≥0当且仅当α=0时(α,α)=0.其中，α,β,为n维向量，为任意实数由向量α与其自身内积的非负性，可以类似空间解析几何用内积来定义向量的长度（也称为范数）：Gu定义2设n维向量α=将向量α的长度（也称作范数）定义为a.[α= /(α, α) = +..+a当[a[=1时，称α为单位向量；对非零向量α，称α°=为α的单位向量，α并称此过程为向量的单位化（规范化），向量的长度具有如下性质：（1）非负性α≥0，当且仅当α=0时α=0；（2）齐次性α=：（3）三角不等式α+≤α+β[(α,β)≤αβ，等号仅当α与β线性相关时才成立.这个不等式称为计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 222 1 2 3 a a a = = a + a + a ，cos( , ) = a b a b a b . 现在将上面的概念推广到 n 维向量. 定义 1 设 n 维向量 1 2 n a a a = ， 1 2 n b b b = ，向量 与 的内积记作 ( , ) ，规定 T 1 1 2 2 ( ) n n = + + + = a b a b a b . 内积是向量间的一种运算，其运算结果是一个实数. 根据定义，容易验证 与 的内积具有下列性质： （1） 对称性： ( ) = ( ) ； （2） 线性性： ( + ) = ( ) + ( ) ； ( , ) ( , ) ( , ) = = ； （3） 非负性： ( , ) 0 当且仅当 = 0 时 ( , ) 0 = . 其中， , , 为 n 维向量， 为任意实数. 由向量 与其自身内积的非负性，可以类似空间解析几何用内积来定义向 量的长度（也称为范数）. 定义 2 设 n 维向量 1 2 n a a a = ，将向量 的长度（也称作范数）定义为 2 2 1 ( , ) n = = + + a a ， 当 =1 时，称 为单位向量；对非零向量 ，称 0 = 为 的单位向量， 并称此过程为向量的单位化（规范化）. 向量的长度具有如下性质： （1） 非负性 0 ，当且仅当 = 0 时 = 0 ； （2） 齐次性 = ； （3） 三角不等式 + + ； ( , ) ，等号仅当 与 线性相关时才成立. 这个不等式称为
线性代数教案第2章矩阵及其运算Cauchy-schwarz不等式（证明略），由此不等式可知，(α, β)≤1（当α0,β0时），[al/1于是定义两向量的夹角如下：定义3当α0β￥0时，规定(α,β)9=arccosal/l称为向量α与β的夹角当0=号即(α,B)=0时，称向量α与β正交或垂直.2显然零向量与任何向量均正交(-3)4)21例1设α=B=，问α与β是否正交，并将α,β单位化.2.-14(3)解(4)1(α, β)=αβ=(-3, 2, -1,4)=(-3)×4+2×1+(-1)×2+4×3=02(3)+则α与β正交，又β= 42 +12 +22 + 32=/30,[α= /(-3)° +22 +(-1)2 +42 =/30,则(..3)4V30V3021V3030B°=BαQ°=-1PIlallIPlV30V303(730（730）（二）正交向量组定义4由两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组；由单位向量计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 Cauchy-schwarz 不等式（证明略）. 由此不等式可知， ( , ) 1 （当 0 0 , 时）， 于是定义两向量的夹角如下： 定义 3 当 0 0 , 时，规定 ( , ) = arccos 称为向量 与 的夹角. 当 2 = 即 ( , ) 0 = 时，称向量 与 正交或垂直. 显然零向量与任何向量均正交. 例 1 设 3 4 2 1 , 1 2 4 3 − = = − ，问 与 是否正交，并将 , 单位化. 解 ( ) T 4 1 ( , ) 3, 2, 1, 4 ( 3) 4 2 1 ( 1) 2 4 3 0 2 3 = = − − = − + + − + = , 则 与 正交，又 2 2 2 2 = − + + − + = ( 3) 2 ( 1) 4 30 ， 2 2 2 2 = + + + = 4 1 2 3 30 ， 则 0 3 30 2 30 1 30 4 30 − = = − ； 0 4 30 1 30 2 30 3 30 = = . （二）正交向量组 定义 4 由两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组；由单位向量
线性代数教案第2章矩阵及其运算组成的正交向量组称为标准正交向量组.下面介绍正交向量组与线性无关向量组之间的关系定理1若α,αz，,α,是一组两两正交的非零向量，则α,α，",α,线性无关，即不含零向量的正交向量组必为线性无关向量组证明设有数k,kz,"",k,使得ka,+k,a,+..+k,a,=0用αT左乘上式可得ka,a, +ka,a, +...+k,aa, =0,由于αα,α是正交向量组，可知α,α,=α+0,α,α,=0,（j=2,3,,r)进而可得k,aα, =k α= 0故k =0.同理可证k,=k,=…=k,=0，于是α,αz,α,线性无关注意定理1的逆命题不成立，即不能保证所有的线性无关向量组均为正交向量组，但是我们可以借助于下面的方法，将一个线性无关的向量组转化为等价的正交向量组（三）施密特（Schmidt）正交化定理2设α,αz，,α,是一个线性无关向量组，令β, =α,B. -a. - Ba) p.IPI:B.- , B- a .. a .IB,IB, Iβ,则β",为与α,αz"",α,等价的正交向量组该方法称为施密特正交化方法.若再进一步，将β，β，β,单位化后，可得到一个与α，αz，""α,等价的标准正交向量组下面以3维向量为例，用图示的方法，揭示施密特正交化的思路与过程可按图1来取β与β,，由ββ正交且与α，α,等价，即计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 组成的正交向量组称为标准正交向量组. 下面介绍正交向量组与线性无关向量组之间的关系. 定理 1 若 1 2 , , , r 是一组两两正交的非零向量，则 1 2 , , , r 线性 无关，即不含零向量的正交向量组必为线性无关向量组. 证明 设有数 1 2 , , , r k k k 使得 1 1 2 2 r r k k k + + + = 0 . 用 T 1 左乘上式可得 T T T 1 1 1 2 1 2 1 0 r r k k k + + + = , 由于 1 2 , , , r 是正交向量组，可知 T 2 1 1 1 = 0 ， T 1 0 j = ，（ j r = 2,3, , ）. 进而可得 T 2 1 1 1 1 1 k k = = 0 , 故 1 k = 0 . 同理可证 2 3 0 r k k k = = = = ，于是 1 2 , , , r 线性无关. 注意 定理 1 的逆命题不成立，即不能保证所有的线性无关向量组均为正交 向量组，但是我们可以借助于下面的方法，将一个线性无关的向量组转化为等价 的正交向量组. （三）施密特（Schmidt）正交化 定理 2 设 1 2 , , , r 是一个线性无关向量组，令 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 , ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) . r r r r r r r r − − − = = − = − − − − 则 1 2 , , , r 为与 1 2 , , , r 等价的正交向量组. 该方法称为施密特正交化方法.若再进一步，将 1 2 , , , r 单位化后，可 得到一个与 1 2 , , , r 等价的标准正交向量组. 下面以 3 维向量为例，用图示的方法，揭示施密特正交化的思路与过程. 可按图 1 来取 1 与 2 ，由 1 2 , 正交且与 1 2 , 等价，即
线性代数教案第2章矩阵及其运算(βl,β2)= 0 ,可求得1= (β,α,)(B,a) ββ=αz-PIIP,I求得β,与β,后，再按图4-2所示取β=α-(l,β,+l,β），由(β,β)=0,(β2,β)=0,可类似求得l,和l，即得到β，此时向量组βββ,即为与α,αz,α,等价的正交向量组.αAβ, =α,-1βαr-βTp.α,/ β, =α, -(,β, +1,β.)βp0BBβ,+12β2例2设α=0试将向量组α,αz,α,标准正交1,a,=0)化解先采用施密特正交化的方法将向量组正交化取(1)β, = α, =10(β,α,)β, =β, =α,IPl1计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 1 2 ( , ) 0 = ， 可求得 1 2 2 1 ( , ) l = ， 1 2 2 2 1 2 1 ( , ) = − . 求得 1 与 2 后，再按图 4-2 所示取 3 3 1 1 2 2 = − + ( ) l l ，由 1 3 ( , ) 0 = ， 2 3 ( , ) 0 = ， 可类似求得 1 l 和 2 l ，即得到 3 ，此时向量组 1 2 3 , , 即为与 1 2 3 , , 等价的正 交向量组. 例 2 设 1 2 3 1 1 1 1 , 0 , 0 0 1 0 − = = = ，试将向量组 1 2 3 , , 标准正交 化. 解 先采用施密特正交化的方法将向量组正交化. 取 1 1 1 1 0 = = ； 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 ( , ) 1 1 0 1 1 2 2 1 0 2 = − = − = − ； O 1 1 l 1 1 2 2 l l + 2 2 2 l 3 3 1 1 2 2 = − + ( ) l l 3 1 O 2 2 1 = − l 1 l 1 1 = 2