沈阳师范大学：《数学分析》课程授课教案（讲义二，共八章，授课教师：孟宪吉）

授课题目2学时$8.1不定积分概念与基本积分公式1.深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；教学内容2.掌握不定积分的线性运算法则；3.熟练掌握不定积分的基本积分公式教学目标掌握不定积分的概念会熟练的运用不定积分的基本公式教学重点理解不定积分的概念教学难点原函数与不定积分的概念及其之间的区别教学方法“系统讲授”结合“问题教学”课程导入讲授新课思考练习小结与作业6'25'10'4'教学过程本章所学的内容，在是在上学期微分学基础上进行研究和学习，是微分学的逆设计运算。本节主要是让学生正确的理解不定积分的概念，并能掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别，并运用基本积分公式求解简单的不定积分，注释教学过程及授课内容课回顾上学期所学微分的内容，正如加法运算有逆运算，微分法也有其逆程运算一一积分法。通过物理学中加速度与速度之间的互相求解引出本文内导入容。一原函数与不定积分定义1设函数与F在区间I上都有定义.若F(x)=f(x),xel则称F为f在区间1上的一个原函数，定理8.1若函数在区间I上连续.则在I上存在原函数F，即讲F'(x)= f(x),xel.授新定理8.2设F是f在区间1上的一个原函数.则课(i)F+C也是f在I上的原函数，其中C为任意常量函数：(ii）f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.证(i)这是因为[F(x)+C}=F(α)=f(x),xeI（ii）设F和G是f在I上的任意两个原函数，则2

2 授课题目 §8.1 不定积分概念与基本积分公式 2 学时 教学内容 1.深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别； 2.掌握不定积分的线性运算法则； 3.熟练掌握不定积分的基本积分公式. 教学目标 掌握不定积分的概念.会熟练的运用不定积分的基本公式. 教学重点 理解不定积分的概念. 教学难点 原函数与不定积分的概念及其之间的区别. 教学方法 “系统讲授”结合“问题教学”. 教学过程 设计 课程导入 讲授新课 思考练习 小结与作业 6’ 25’ 10’ 4’ 本章所学的内容，在是在上学期微分学基础上进行研究和学习，是微分学的逆 运算。本节主要是让学生正确的理解不定积分的概念，并能掌握原函数与不定积分 的概念及其之间的区别，并运用基本积分公式求解简单的不定积分. 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入 回顾上学期所学微分的内容，正如加法运算有逆运算，微分法也有其逆 运算——积分法。通过物理学中加速度与速度之间的互相求解引出本文内 容。 讲 授 新 课 一 原函数与不定积分 定义 1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义.若 F x f x x I      , 则称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数. 定理 8.1 若函数 f 在区间 I 上连续.则 f 在 I 上存在原函数 F ,即 F x f x x I      , . 定理 8.2 设 F 是 f 在区间 I 上的一个原函数.则 (i) F C 也是 f 在 I 上的原函数,其中 C 为任意常量函数; (ii) f 在 I 上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数. 证（i）这是因为 F x C F x f x x I      ,           （ii）设 F 和 G 是 f 在 I 上的任意两个原函数，则

有[F(x)-G(x)}=F(x)-G(x)=f(x)-f(x)=0,xeI根据第六章拉格朗日中值定理的推论，知道F(x)-G(x)=C,xeI。定义2函数f在区间1上的全体原函数称为f在1上的不定积分，记作[f(x)dx()，其中称了为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量.尽管记号（1)中各个部分都有其特定的名称，但在使用时必须把它们看作一整体.由定义2可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F是f的一个原函数，则于的不定积分是一个函数族(F+C)，其中C是任意常数.为方便起见，写作[f(x)dx= F(x)+C. (2)这时又称C为积分常数，它可取任一实数值.于是又有[(x)dx'=[F(μ)+c]'=f(x) (3)[d f(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx (4)按照写法（2)，本节开头所举的个例子可以写作1[xdx=↓r+C;[sin 2xdx = --cos2x+C23J arctan xdx = x arctan x - in(1+x )+C不定积分的几何意义若F是f的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线.于是，的不定积分在几何上表示厂的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族（图8-1).显然，若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作韧线，则这些切线互相平行.y=F(a+y=F(x)m

3 有 F x G x F x G x f x f x x I             0,               根 据 第 六 章 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 推 论 ， 知 道 F x G x C        ,x I 。 定义 2 函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上的不定积 分 , 记 作 f x dx   1  ，其中称  为积分 号, f x  为 被 积 函 数, f x dx   为被积表达式, x 为积分变量. 尽管记号(1)中各个部分都有其特定的名称,但在使用时必须把它 们看作一整体.由定义 2 可见,不定积分与原函数是总体与个体的关系, 即若 F 是 f 的一个原函数,则 f 的不 定积 分是一个 函数族 F C ，其 中 C 是任意常数.为方便起见,写作 f x dx F x C ( ) ( )   .  2 这时又称 C 为积分常数,它可取任一实数值.于是又有 f x dx F x C f x ( )               3 d f x dx d F x C f x dx      [ ( ) ] ( )  4 按照写法(2),本节开头所举的个例子可以写作   2 3 2 1 1 sin 2 cos 2 3 2 1 arctan arctan ln 1 2 x dx x C xdx x C xdx x x x C             ； 不定积分的几何意义 若 F 是 f 的一个原函数,则称 y F x    的图象为 f 的一条积分曲线.于是, f 的不定积分在几何上表示 f 的某一积分曲线 沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族(图 8-1).显然, 若在每一条积分 曲 线 上 横 坐 标 相 同 的 点 处 作 切 线 ,则这些切线互相 平行

二基本积分表1 J dx =C.2.J1dx=J dx =X+C[ara-ca-o4.J -dx =In|+C(#0)5.Je'dx=e' +C.6.Ja'dx=+C(a>0,a * 1),Inacos axdx= =sin ax +C(a # 0)a8.Jsinaxdx=-cosax+C(a0)a9. sec’ xdx = tan x +C.10.J csc° xdx = -cot x+ C.11. J sec x· tan xdx = sec x +C.12. J csc x·cot xdx = -csc x+C.dx13.[=arcsinx+C=-arccosx+C,/-xdx14=arctan x+C=-arc cot x+C1+x?定理8.3：若函数与g在区间I上都存在原函数，k、k,为两个任意常数，则kf+kg在1上也存在原函数.即(5)[[kf(x)+kg(x)]=k[/(x)dx+k,Jg(x)dx证：这是因为[KJr()dx+kJ g(x)ds] =k (J (x)ds) +k (Jg(n)ds)=kf(x)+kzg(x)根据线性法则，（5）的一般形式为[dx=ZkJf(x)d)k.f.(x(i=i=根据上述线性运算法则和基本积分公式，可求得一些简单函数的不定积分4

4 二 基本积分表           1 2 2 1. . 2. 1 3. 1, x 0 . 1 1 4. ln 0 . 5. . 6. 0, 1 . ln 1 7. cos sin 0 . 1 8. sin cos 0 . 9. sec tan . 10. csc cot . 11. sec tan x x x x dx C dx dx x C x x dx C dx x C x x e dx e C a a dx C a a a axdx ax C a a axdx ax C a a xdx x C xdx x C x x                                                 1 2 2 1 sec . 12. csc cot csc . 13. arcsin arccos . 1 14. arctan cot . 1 dx x C x xdx x C dx x C x C x dx x C arc x C x                      定理 8.3: 若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, 1 k 、 2 k 为两个任意常数, 则 1 2 k f k g  在 I 上也存在原函数.即   k f x k g x k f x dx k g x dx 1 2 1 2            5      证：这是因为                 1 2 1 2 1 2 k f x dx k g x dx k f x dx k g x dx k f x k g x                 根据线性法则，（5）的一般形式为     1 1 n n i i i i i i k f x dx k f x dx              根据上述线性运算法则和基本积分公式，可求得一些简单函数的不定积分

例1. p(x)=aox"+ax"**+.+an-ir+an[ p()x=++an-l x?+a,x+cn+l2ncx4 +12例2:x+1x+113x+2arctanx+C3例 3:cos"x+sin"xdxcos?xsinxcosxsin’x= J(csc* x+ sec* x)dx=-cot x+ tan x+C例4:cos 3x-sin xdx =[(sin 4x -sin 2x)dx21(1cos4x+cos2x2( 42(cos4x-2cos2x)+C8例5:[(10* -10) dx= [(102 +10-2 -2)dx-[(10') +(10-) -2 x(102* -10-2)2x +C2ln10例6：求不定积分[Ix-1dx.解 (t)={x--{-1- x≥1[1-x, x≤1.因为f(x)在(-00,+)上连续，所以不定积分[lx-1dx在(-0,+)上存在.易见号-x是(1)在[,+o)上的一个原函数.易见2设F(x)为f(x)的一个原函数，且满足x2-x,F(x):xe[1, +0]25

5 例 1.   1 0 1 1 n n n n p x a x a x a x a          0 1 1 2 1 1 2 n n n a a a p x dx x x a x C n n           4 2 2 2 3 1 2 1 1 1 1 2arctan 3 x dx x dx x x x x x C                   例2： 例 3：   2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin cos sin csc sec cot tan dx x xdx x x x x x x dx x x C            例 4：     1 cos 3 sin sin 4 sin 2 2 1 1 1 cos 4 cos 2 2 4 2 1 cos 4 2cos 2 8 x xdx x x dx x x C x x C                   例 5：           2 2 2 2 2 2 2 10 10 10 10 2 10 10 2 1 10 10 2 2ln10 x x x x x x x x dx dx dx x C                         例 6：求不定积分 x dx 1  . 解 设   1, 1 1 1 , 1. x x f x x x x           因为 f x  在   ,  上连续，所以不定积分 x dx 1  在   ,  上存 在. 易见 1 2 2 x x  是 f x  在 1, 上的一个原函数. 设 F x  为 f x  的一个原函数，且满足     1 2 , 1, 2 F x x x x    

则，当xE(-0,1时，F(x)=1-x，所以存在常数C，使得1F(x)+x+Cxe(-00, 1]2因为F(x)在(-,+)上连续，所以在x=1处连续，从而有11+1+C,.122即C,=-1,因此1xe[1, +o0),2F(x)=+x-1, xe(-00,1],2JIx-1 dx = F(x)+C验证课后习题第1题思考与练习1.掌握原函数、不定积分的概念能明确原函数与不定积分之间的关系2.小结3.明确不定积分几何意义，能运用基本积分公式计算不定积分与作课后作业：P166:5(1)一(10)业教学反思6

6 则，当 x   ,1 时, F x x    1 ,所以存在常数 C1 ,使得     2 1 1 , ,1 2 F x x x C x       . 因为 F x  在   ,  上连续,所以在 x 1 处连续,从而有 1 1 1 1 1 2 2      C , 即 1 C  1,因此       2 2 1 , 1, , 2 1 1, ,1 , 2 x x x F x x x x              x dx F x C    1 .    思 考 与 练 习 验证课后习题第 1 题. 小 结 与 作 业 1. 掌握原函数、不定积分的概念. 2. 能明确原函数与不定积分之间的关系 3. 明确不定积分几何意义，能运用基本积分公式计算不定积分. 课后作业：P166: 5(1)—(10) 教 学 反 思