2）函数y=cosx为余弦函数，定义域（-oo,+oo)，值域[-1, 1].yj=cosx02元2元x提问：借助学习通随机提问3），函数y=tanx为正切函数，定义域x±k元+元/2，kEZ，值域(-00,+o0)学生指出正切函数具有哪些性质。x4）函数y=cotx为余切函数，定义域xk元/2，kEZ，，值域（-00,+o0).5）函数y=secx=1/cosx为正割函数，定义域x±提问：借助学习通随机提问k元+元/2,kEZ，值域(-00. -1]U[1.+00)学生指出正割函数具有哪些性质（可以借助上网查阅），培养学生养成探索求3元知的习惯。6)函数y=cscx=1/sinx为余割函数，定义域x±k元，kEZ，值域(-00,-1]U[1,+00)（6）反三角函数1函数y=arcsinx为反正弦函数，定义域[-1,1]，值域[-元/2，元/2]11
11 2) 函数 y = cos x 为余弦函数，定义域 (-, +)，值域 [-1, 1]. 3) 函数 y = tan x 为正切函数，定义域 x k+/2，k ∈ Z，值域 (-, +). 4) 函数 y = cot x 为余切函数，定义域 x k /2，k ∈ Z，值域 (-, +). 5) 函数 y = sec x = 1 / cos x 为正割函数，定义域 x k+/2，k ∈ Z，值域 (-, -1] [1, +). 6) 函数 y = csc x = 1 / sin x 为余割函数，定义域 x k，k ∈ Z，值域 (-, -1] [1, +). （6）反三角函数 1) 函数 y = arcsin x 为反正弦函数，定义域 [-1, 1]，值 域 [-/2, /2]. 提问：借助学习通随机提问 学生指出正切函数具有哪 些性质。 提问：借助学习通随机提问 学生指出正割函数具有哪 些性质（可以借助上网查 阅），培养学生养成探索求 知的习惯
1.5E0.5F+5112)，函数y=arccosx为反余弦函数，定义域[-1,1],值域[0,元]0.53）函数y=arctanx为反正切函数，定义域（-o0,+o)，值域（-元/2，元/2）组织讨论：如何快速记住以4）函数y=arccotx为反余切函数，定义域（-oo,+o)，上六种基本初等函数的图值域0,元）像？以上函数图像的描绘，让学生感受数学之美，进而助于记忆函数的性质。2.复合函数定义：把两个或两个以上的简单函数组合成另一函数。重点2（也是难点）：复合设函数y=f(u),uEDy，yER，u=g(x),xEDg，uE函数的构成与拆分。R,若RgRO,则复合:y=f[g(x)],xE(x|g(x)EDf)。例如：y=cos2x：u=2x；y=cosu除自变量x和因变量y外，还出现了中间的变量u，y通过u而成为关于x的函数.例1判断 y=f(u)=I+记和 u=g(x)=In(1+x-)是否可以例1：先让学生自行讨论，复合？然后自行总结函数复合需解：由于D,=R，R。=[0,+o)，因为RCD,，所要满足什么条件。以f(u)与g(x)能够构成复合函数，y= [g(x)]=1+g2(x)= 1+ n*(1+x2) .注意的点：（1）不是任何两个函数都可以构成一个复合函数12
12 2) 函数 y = arccos x 为反余弦函数，定义域 [-1, 1]， 值域 [0, ]. 3) 函数 y = arctan x 为反正切函数，定义域 (-, +)， 值域 (-/2, /2). 4) 函数 y = arccot x 为反余切函数，定义域 (-, +)， 值域 (0, ). 2. 复合函数 定义：把两个或两个以上的简单函数组合成另一函数。 设函数 y = f (u)，u ∈ Df ，y ∈ Rf ，u = g (x)，x ∈ Dg ，u ∈ Rg，若 Rg Rf ，则复合：y = f [g(x) ]，x ∈ {x | g(x) ∈ Df }。 例如：y = cos2x； u = 2x； y = cosu 除自变量 x 和因变 量 y 外，还出现了中间的变量 u ，y 通过 u 而成为关于 x 的函数. 例 1 判断 y = f (u) = 1+ u 2 和 u = g (x) = ln(1+x 2)是否可以 复合？ 解：由于 Df R ， R g 0, ，因为 R g Df ，所 以 f (u) 与 g(x) 能够构成复合函数， 2 2 2 y f g x 1 g (x) 1 ln (1 x ) ． 注意的点： （1）不是任何两个函数都可以构成一个复合函数 组织讨论：如何快速记住以 上六种基本初等函数的图 像？ 以上函数图像的描绘，让学 生感受数学之美，进而助于 记忆函数的性质。 重点 2（也是难点）：复合 函数的构成与拆分。 例 1：先让学生自行讨论， 然后自行总结函数复合需 要满足什么条件
（2）复合函数可以有多个中间变量（3）更多是由基本初等函数经过四则运算形成的简单函数来构成的（4）函数的复合一般与复合的次序有关随堂练习1 分解函数 y=3acos/2-随堂练习1：在学习通平台上发布习题，学生将做好的解：y=3"，u=arccosv,v=Vw,w=2-x.过程上传到平台，及时进行复合函数求定义域的情形：点评。(1）已知f(x)的定义域，求[g(x))的定义域(2）已知[g(x)】的定义域，求f(x）的定义域复合函数求定义域是拓展(3）已知f[g(x)】的定义域，求f[h(x)】的定义域.内容：培养学生解题的逻辑总结：对于复合函数，其定义域仍为x的取值范围。性以及对知识的扩展性。3.初等函数定义：由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及有限次的函数复合所构成的并且可用一个式子表示的函数.重点3：4.幂指函数强调幂指函数转为指数函定义：设函数f(x）和g(x）是两个初等函数，f(x)>0，数的应用：幂指函数转为指则：y=[F(x)]g(）就是幂指函数数函数是后期知识求极限重点：幕幂指函数转为指数函数y=[(x)s(t)=e 8(n)Inf(n),和求导重要基础。5. 反函数引例：y=5x，求出变量x关于变量y的函数关系.定义：设函数y=f(x）的定义域为Df，值域是Ry，思考和讨论：基本初等函数若对于yeRy，都有唯一对应值xeD，满足x=g()中谁与谁互为反函数，说明的对应法则，则y=f(g)的反函数为x=g(),记作：y=f-(x).反函数具备的特点有哪些。注意的点：（1）只有一一对应的函数（自变量不同时因变量也不同）才有反函数；（2）y=f(x）与y=-(x）的定义域、值域互相交换.6.隐函数将解析式为y=f(x)的函数关系称作显函数定义：自变量x与因变量之间的对应关系不明显：将x与y都看作变量，在二元方程F(x,y)=0中，将该类函数关系称作隐函数例如：隐函数xy-2x+3y-1=0（可显化）；xy-e=0（不可显化），三、课程小结1.基本初等函数（六类）2.复合函数及其分解、定义域3.初等函数4.幂指函数5.反函数及其求法（定义域和值域）6.隐函数四、布置作业1.教材的课后习题13
13 （2）复合函数可以有多个中间变量 （3）更多是由基本初等函数经过四则运算形成的简单函 数来构成的 （4）函数的复合一般与复合的次序有关 随堂练习 1 分解函数 2 arccos 2 3 x y . 解： 3 u y ，u arccos v ，v w ， 2 w 2 x ． 复合函数求定义域的情形： （1）已知 f (x)的定义域，求 f [g(x) ]的定义域. （2）已知 f [g(x) ] 的定义域，求 f (x) 的定义域. （3）已知 f [g(x) ] 的定义域，求 f [h(x) ] 的定义域. 总结：对于复合函数，其定义域仍为 x 的取值范围。 3. 初等函数 定义：由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、 乘、除）以及有限次的函数复合所构成的并且可用一个式子 表示的函数. 4. 幂指函数 定义：设函数 f (x) 和 g(x) 是两个初等函数，f (x) > 0， 则：y = [f (x)] g(x) 就是幂指函数. 重点：幂指函数转为指数函数 y = [f (x)] g(x) = e g(x) lnf (x). 5. 反函数 引例：y = 5x，求出变量 x 关于变量 y 的函数关系. 定义：设函数 y = f (x) 的定义域为 Df ，值域是 Rf ， 若对于 y Rf ，都有唯一对应值 x Df ，满足 x = g (y) 的对应法则，则 y = f (x) 的反函数为 x = g (y)，记作：y = f -1(x). 注意的点： （1）只有一一对应的函数（自变量不同时因变量也不同） 才有反函数； （2）y = f (x) 与 y = f -1(x) 的定义域、值域互相交换. 6. 隐函数 将解析式为 y = f (x)的函数关系称作显函数. 定义：自变量 x 与因变量 y 之间的对应关系不明显： 将 x 与 y 都看作变量，在二元方程 F (x, y) = 0 中，将该类 函数关系称作隐函数. 例如：隐函数 xy - 2x +3y -1 = 0（可显化）；xy - e y = 0 （不可显化）. 三、课程小结 1. 基本初等函数（六类） 2. 复合函数及其分解、定义域 3. 初等函数 4. 幂指函数 5. 反函数及其求法（定义域和值域） 6. 隐函数 四、布置作业 1. 教材的课后习题 随堂练习 1：在学习通平台 上发布习题，学生将做好的 过程上传到平台，及时进行 点评。 复合函数求定义域是拓展 内容：培养学生解题的逻辑 性以及对知识的扩展性。 重点 3： 强调幂指函数转为指数函 数的应用：幂指函数转为指 数函数是后期知识求极限 和求导重要基础。 思考和讨论：基本初等函数 中谁与谁互为反函数，说明 反函数具备的特点有哪些
2.学习通上对应的作业课后思考：布置课后思考，3.思考：复合函数的拆分满足什么特点？培养学生自主思考的学习能力，并牢牢掌握高等数学五、板书设计的基础理论。基本初等函数（重点）复合函数（重点和难点）1.2初等函数暴指函数（重点）反函数隐函数教学反思1.成功之处通过描绘基本初等的函数图像，使得学生能够感受数学的美妙；通过组织讨论，学生给出的答案使我有了意想不到的收获；讲授与多媒体手段的结合，能够更加直观地解释基础理论知识，使得学生能够快速理解基本知识和重点知识。2.存在问题本节课的理论知识较多，部分学生在后半段已经注意力不集中，吸收知识的积极性有所减弱，使得学生对难点知识的理解有困难。3.改进措施今后将在难点知识处给出更多的例题讲解或给出更多的时间对难点知识进行答疑，以便使更多的学生掌握难点，进而提升学生克服困难的积极性和动力。14
14 2. 学习通上对应的作业 3. 思考：复合函数的拆分满足什么特点？ 五、板书设计 课后思考：布置课后思考， 培养学生自主思考的学习 能力，并牢牢掌握高等数学 的基础理论。 教学反思 1. 成功之处 通过描绘基本初等的函数图像，使得学生能够感受数学的美妙；通过组织讨论，学生 给出的答案使我有了意想不到的收获；讲授与多媒体手段的结合，能够更加直观地解释基 础理论知识，使得学生能够快速理解基本知识和重点知识。 2. 存在问题 本节课的理论知识较多，部分学生在后半段已经注意力不集中，吸收知识的积极性有 所减弱，使得学生对难点知识的理解有困难。 3. 改进措施 今后将在难点知识处给出更多的例题讲解或给出更多的时间对难点知识进行答疑，以 便使更多的学生掌握难点，进而提升学生克服困难的积极性和动力
授课题目81.3数列极限课时：2学时知识目标：1.理解数列极限的定义：能够明确数列极限是描述数列中项随着项数的增大而逐渐趋近于某一常数的过程。2.掌握数列极限的基本性质：学生能够掌握数列极限的基本性质，并能利用这些性质进行简单的数列极限计算。能力目标：教学目标培养学生的分析和观察能力。学生能够通过观察数列的通项公式或前几项，分析出数列的变化趋势，并预测其可能的极限值。素养目标：培养学生的抽象思维品质。通过数列极限的学习，学生能够体会到数学中的抽象思维方法，如从具体到抽象、从有限到无限的思维过程，提高数学抽象思维能力。教学重点：数列极限的定义和性质。重点难点教学难点：数列极限的性质。教学方法：讲授法、讨论法、案例分析法。方法手段教学手段：多媒体、学习通平台。导入新课数列极限的定义引导式讲解一唯一性一有界性讲解新知保号性收敛数列的基本性质案例+讨论+讲授数列收敛数列与其教学设计极限子列间的关系课程小结布置作业板书设计教学反思教学过程教学活动一、导入新课观察下列几组数的特点：(1)1, 2, 3, 4,..1111(2)2'48'16"1, 1, 1, -1...(3)15
15 授课题目 §1.3 数列极限 课时：2 学时 教学目标 知识目标： 1. 理解数列极限的定义：能够明确数列极限是描述数列中项随着项数 的增大而逐渐趋近于某一常数的过程。 2. 掌握数列极限的基本性质：学生能够掌握数列极限的基本性质，并 能利用这些性质进行简单的数列极限计算。 能力目标： 培养学生的分析和观察能力。学生能够通过观察数列的通项公式或前 几项，分析出数列的变化趋势，并预测其可能的极限值。 素养目标： 培养学生的抽象思维品质。通过数列极限的学习，学生能够体会到数 学中的抽象思维方法，如从具体到抽象、从有限到无限的思维过程，提高 数学抽象思维能力。 重点难点 教学重点：数列极限的定义和性质。 教学难点：数列极限的性质。 方法手段 教学方法：讲授法、讨论法、案例分析法。 教学手段：多媒体、学习通平台。 教学设计 教学过程 教学活动 一、导入新课 观察下列几组数的特点：