《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵与向量 2-4 矩阵的秩

111 由行列式024=10≠0，知向量组a,a,a线性无关 005 由§2.3例5知，向量组a1,2,a也线性无关， 所以A的行秩为3. T11 1 「3 T17 A的列向量组B,= 0 B3= B= 4 0 8 0 5 4个三维矢量必线性相关，而其中BB2B,线性无关

1 2 3 111 0 2 4 10 0 , , 005 由行列式 =  ，知向量组     线性无关. § 1 2 3 2.3 5 , , A 3. 由 例 知，向量组   也线性无关， 所以 的行秩为 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 A                     = = = − =                         的列向量组 4个三维矢量必线性相关，而其中β1β2β4线性无关

因为 1 0 0 12 0 =10≠0 14 5 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的.为了 证明这一点，我们有以下两个定理， 2.矩阵的初等行列变换矩阵的行列秩的影响。 定理2.4.1初等行（列）变换不改变矩阵的行（列秩. 证明：此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩证明之，其余两种课下自己来完成

1 0 0 1 2 0 10 0 1 4 5 =  因为 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的.为了 证明这一点,我们有以下两个定理. 定理2.4.1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 证明： 此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩证明之，其余两种课下自己来完成. 2.矩阵的初等行列变换对矩阵的行(列)秩的影响

设m×矩阵A的行向量组a,a2,.,anm且 a 01 a a;+kaj 5+k灯) A= =B Qj Cm

1 2 , , 设m n A  矩阵 的行向量组   ， m ，且 1 1 ~ i j i j i r kr j j m m k A B          +                   +     = =                            

由 C1=01 a;=(a;+kaj)-kaj 。 m=am 可知，矩阵A的行矢量组可由B的行矢量组线性表示 显然，矩阵B的行矢量组可由A的行矢量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行矢量组等价.从而矩阵A、 B的行矢量组的秩相同

1 1 ( ) i i j j m m k k         = = + − = 由 可知，矩阵A的行矢量组可由B的行矢量组线性表示. 显然，矩阵B的行矢量组可由A的行矢量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行矢量组等价.从而矩阵A、 B的行矢量组的秩相同

同样的方式可证明对矩阵做一次第二第三种类型 的初等行变换，可得到矩阵的行秩也相等。 定理2.4.1对应到化简线性方程组上即为初等变换不 改变线性方程组中独立方程的个数。 定理2.4.2初等行（列）变换不改变矩阵列（行）矢量间 的线性关系. A=[c,c2,.,an]→[B,B2,Bn]=B 则有x,必1+x202+.+Xnn=0 当且仅当xB+x2B2+.+xnBn=0

定理2.4.1对应到化简线性方程组上即为初等变换不 改变线性方程组中独立方程的个数。 定理2.4.2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)矢量间 的线性关系. A = 1 ,2 ,  ,n →1 ,2 ,  ,n = B 则有x1 1 + x2 2 ++ xn n = 0 当且仅当x11 + x22 ++ xnn = 0 同样的方式可证明对矩阵做一次第二第三种类型 的初等行变换，可得到矩阵的行秩也相等