郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第十六章 结构的稳定计算

162有限自由度体系的稳定—静力法和能量法 用静力法分析具有n个自由度的体系时,可对新的变 形状态建立n个平衡方程,它们是关于n个独立位移参数 的齐次线性方程,因失稳时n个位移参数不全为零,则方 程的系数行列式D因等于零,得到稳定方程:D=0 它有n个实根(特征值),其中最小着即为临界荷载 独立位移参数的数目即稳定体系的自由度 1、静力法:要点是利用临界状态平衡形式的 B 二重性,在原始平衡路径之外寻 找新的平衡路径,确定分支点,E=∞ 由此求临界荷载 (Pl-k)0=00,原始平衡 转动刚 度系数k 临界荷载 特征方程(稳定方程) M4=k6

11 §16-2 有限自由度体系的稳定——静力法和能量法 稳定计算最基本 最重要的方法 静力法：考虑临界状态的静力特征。 （平衡形式的二重性） 能量法：考虑临界状态的能量特征。 （势能有驻值，位移有非零解） P l A B k 1、静力法：要点是利用临界状态平衡形式的 二重性，在原始平衡路径之外寻 找新的平衡 路径，确定分支点， 由此求临界荷载。 l  0 P M A l k (Plk) 0 (Plk) 0 θ=0，原始平衡 θ≠0，新平衡形式 l k Pcr  Plk 0 临界荷载 特征方程（稳定方程） MA=kθ 确定体系变形形式(新的平衡形式)的 独立位移参数的数目即稳定体系的自由度. P A B 转动刚 度系数k B´ λ θ EI=∞ 用静力法分析具有 n 个自由度的体系时，可对新的变 形状态建立 n 个平衡方程，它们是关于 n 个独立位移参数 的齐次线性方程，因失稳时 n 个位移参数不全为零，则方 程的系数行列式 D因等于零，得到稳定方程： D=0 它有 n 个实根（特征值），其中最小着即为临界荷载

2、能量法:弹性体系的平衡方程◇势能驻值原理(对于弹性体系 在一切微小的可能位移中,同时又满足平衡条件的位移(真实位移) 使结构的势能为驻值,即:δ=0,∏=应变能U+外力势能Up 元=1(1-cosb)=12sin M4=k0 弹性应变能U=MAO=k02荷载势能:Up=P2B P102: B/I 位移有非零解则人<是三 1=U+Up=3(k-Pl) 应用势能驻值条件 0,得:(k-P1)=0 E=∞ 势能驻值原理是弹性体系处于平衡的充要条件. 但是平衡状态有稳定的、不稳定的和中性的三种 要判断平衡属于哪一种,就必须讨论总势能与荷载 M4=k6 之间的关系

12 2、能量法：弹性体系的平衡方程势能驻值原理（对于弹性体系， 在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移） 使结构的势能Π为驻值，即：δΠ=0 , Π=应变能U+外力势能UP MA=kθ 2 2  l 2 2sin 2  l l(1cos )l MA=kθ 弹性应变能 2 2 1 2 1 U  M A  k 荷载势能: 2 2 1  l Pl UP P   2 2 1  U UP  (k Pl) 应用势能驻值条件: 0, :(  ) 0   k Pl d d 得 位移有非零解则: l k P 势能驻值原理是弹性体系处于平衡的充要条件. 但是平衡状态有稳定的、不稳定的和中性的三种， 要判断平衡属于哪一种，就必须讨论总势能与荷载 之间的关系。 P l A B k B´ λ θ EI=∞

结论: 1)当体系处于稳定平衡状态时,其总势能必为最小。 2)临界状态的能量特征是:势能为驻值,且位移有非零解。或表 述为:在荷载达到临界值前后,总势能由正定过渡到非正定 3)当体系处于中性平衡P=Per时,如依原始平衡位置作为参考状 态,必有总势能=0 对于多自由度体系,结论仍然成立。 2)P>k,当e0,∏恒小于零(m为负定)(即U<U表示体系 少足够的应变能克服荷载势能,压杆不能恢复到原有位置)。 当θ=0,Ⅰ为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。 3)P=k,当0为任意值时,Ⅳ恒等于零(即U=Up)。体系处 于中性平衡(临界状态)这是的荷载称为临界荷载尸 P<P P=Parti P>Part Il

13 2 2 1  U UP  (k Pl) 总势能是位移θ的二次函数， 1）P<k/l ，当θ≠0，Π恒大于零（Π为正定） (即U>UP表示体 系具有足够的应变能克服荷载势能，压杆恢复到原有平衡位 置)当θ=0，Π为极小值0。 对于稳定平衡状态，真实的位移使Π为极小值 2）P>k/l ，当θ≠0，Π恒小于零（Π为负定） (即U<UP表示体系缺 少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。 当θ=0，Π为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。 3）P=k/l ，当θ为任意值时，Π恒等于零(即U=UP ) 。 体系处 于中性平衡（临界状态）这是的荷载称为临界荷载Pcr =k/l 。 θ P<Pcr Π θ P>Pcr Π θ P=Pcr Π 结论： 1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。 2）临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。或表 述为：在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。 3）当体系处于中性平衡P=Pcr时，如依原始平衡位置作为参考状 态，必有总势能=0。 对于多自由度体系，结论仍然成立

例1:图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方 法求其临界荷载。 P 解:1)静力法 墜差k 设变形状态 求支座反力 ∑MB=0→Y4 左 ∑MCc=0→>YD C右 RIkyu 列变形状态的平衡方程 R2=ky2 Yo -Pyo/l ∑1c=0-1( 2+Py2=0(k-2P)n1+Py2=0 C左 ∑MB=0→>2-(,2)2+Py1=0 y1+(k1-2P)y2=0 B右 如果系数行列式=0 k l P=- yo y1,y2不为零,对应(M-2P)2-P2=0 新的平衡形式 P=kl 「对称问题可利用对称性做

14 例1：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方 法求其临界荷载。 l l l P k k A B C D P k k y1 y2 λ R1=ky1 R2=ky2 YA=Py1 /l YD=Py2 /l 解：1）静力法 •设变形状态 求支座反力 •列变形状态 的平衡方程 A B M B  Y 左 0 D C MC  Y 右 0 0 ( )2 0 2 1    1  lPy  l Py M ky l C C 左 0 ( )2 0 1 2    2  lPy  l Py M ky l B B 右 ( 2 ) 0 kl P y1Py2  ( 2 ) 0 Py1 kl P y2  （a） 如果系数行列式≠ 0 y1，y2为零，对应 原始平衡形式。 •如果系数行列式=0 y1，y2不为零，对应 新的平衡形式。 0 2 2   P kl P kl P P ( 2 ) 0 2 2 kl P P  P kl kl P   3 Pcr A B C D 1 1 1 1 2 1 2 1     y y y y 1 -1 对称问题可利用对称性做

P 2)能量法 y 在新的平衡位 置各杆端的相 Riky R2=ky Yp=Py2/l 对水平位移 AZ=/-lcos B=2lsin 2=24B=2I(1 D点的水平位移∴=[y1+(y2-y1)2+y2]=(y-y1y2+y2) 弹性支座应变能:·荷载势能: 能量法步骤 k U=-(y12+y2) Up=-P=-①给出新的平衡形式②写出 2 总势能表达式;③建立势能驻 体系总势能:=U+UP=,【(M值条件④应用位移有非零解 势能驻r 的条件得出特征方程;⑤解 值条件 0出特征值其中最小的即临界 荷载Pr 以后的计算步骤同静力法

15 P k k y1 y2 λ R1=ky1 R2=ky2 YA=Py1 /l YD=Py2 /l A B C D 2）能量法 •在新的平衡位 置各杆端的相 对水平位移 l y l y l l l l l l 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 cos 2 sin ( )             ( ) 1 2 1 2 2 2 1  y  y y  y l [ ( ) ] 2 1 2 2 2 2 1 2 1 \  y  y  y  y l •D点的水平位移 l •弹性支座应变能: ( ) 2 2 2 2 1  y  y k U •荷载势能: ( ) 2 1 2 2 2 1   y  y y  y l P UP Pl •体系总势能: [( 2 ) 2 ( 2 ) ] 2 1 2 1 2 2 2 1    kl P y  Py y  kl P y l  U UP •势能驻 值条件: Py1(kl2P) y2 0 (kl2P) y1Py2 0 0, 0 1 2  ¶ ¶  ¶ ¶ y y   •以后的计算步骤同静力法 能量法步骤: ①给出新的平衡形式;②写出 总势能表达式;③建立势能驻 值条件;④应用位移有非零解 的条件,得出特征方程; ⑤解 出特征值,其中最小的即临界 荷载Pcr