郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第十六章 结构的稳定计算

5、极值点失稳:非完善体 极值点失稳的特点:非完善体系 出现极值点失稳。平衡形式不出现分 P 支现象,P-△曲线具有极值点。结构的 (小挠变形形式并不发生质的改变,由于结 构的变形过大,结构将不能正常使用 对于工程结构两种失稳形式都是 (大 不允许的因为它们或使得结构不能维 持原来的工作状态或使其丧失承载能 P接近于中心压杆的欧拉临力导致结构破坏 稳定问题与强度问题的区别 强度问题是在稳定平衡状态下:Om≤[] 重点是求 内力 σ≤σp,小变形,进行线性分析(一阶分析) ≤Op,大变形,进行几何非线性分析(二阶分析)力 稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡;找出变 形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位 置上建立平衡方程,属于几何非线性分析(二阶分析) 非线性分析,叠加原理不再适用

6 5、极值点失稳：非完善体系： 具有初曲率的压杆 承受偏心荷载的压杆 P P P O Δ Pcr (大挠度理论) (小挠度理论) P e Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载 稳定问题与强度问题的区别： •强度问题是在稳定平衡状态下：     max 当    P ,小变形，进行线性分析（一阶分析）。 当    P ,大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）。 重点是求 内力、 应力 •稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变 形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位 置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。 •非线性分析，叠加原理不再适用。 极值点失稳的特点：非完善体系 出现极值点失稳。平衡形式不出现分 支现象，P-Δ曲线具有极值点。结构的 变形形式并不发生质的改变，由于结 构的变形过大,结构将不能正常使用. 对于工程结构两种失稳形式都是 不允许的.因为它们或使得结构不能维 持原来的工作状态或使其丧失承载能 力,导致结构破坏

6、两类稳定计算简例 1、单自由度完善体系的分支点失稳 R=kline P 1)按大挠度理论分析 R P(sinO)-R(cose)=0B1(不稳定) Ⅰ(小挠度理论)随遇平衡 (P- klose)lsin⊙)=0 可能解:日=0 挠度理论) I(稳定)不稳定平衡 P=klose O Cl A 分支点A处的临界平衡也是不稳定的。对于 这种具有不稳定分支点的完善体系,一般应当考虑初始缺陷的影响, 按非完盖体系讲行稳定性 注:1)平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的 2)建立平衡方程时方程中各项应是同量级的,主要力项 (有限量)要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化,次要力项 (微量)不考虑几何尺寸的微量变化

7 P l k 1、单自由度完善体系的分支点失稳 EI = ∞ 1）按大挠度理论分析 P θ R A P(lsin )R(lcos )0 Rklsin (Pklcos )(lsin )0 P O θ A P c r B Ⅰ(稳定) Ⅰ(不稳定) Ⅱ(大挠度理论) 不稳定平衡 Ⅱ(小挠度理论)随遇平衡 可能解: 0 Pklcos P kl cr  分支点A处的临界平衡也是不稳定的。对于 这种具有不稳定分支点的完善体系，一般应当考虑初始缺陷的影响， 按非完善体系进行稳定性演算。 2）按小挠度理论分析 θ <<1 (Pkl)l 0 Pl Rl 0  0 P kl cr  小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当θ较大时平 衡路径Ⅱ的下降(上升)趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。 注: 1）平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。 2）建立平衡方程时方程中各项应是同量级的，主要力项 （有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，次要力项 （微量）不考虑几何尺寸的微量变化。 6、两类稳定计算简例

2、单自由度非完善体系的极值点失稳 1)按大挠度理论分析 R=klin(0+8-sina] Plain(0+8)-Rlcos(0+8=0 sIn 8 P=lcos(0+8l sin(e+8) C dP =0;得:sin(+E)=sin3E de A P/kl P=kl(1-sin38) P/kl A Q.785 0785 0.660 060702 0556 0.10.20.3 这个非完善体系是极值点失稳 0.380.42 137147x2Pu随e增大而减小

8 P l k 2、单自由度非完善体系的极值点失稳 EI = ∞ 1）按大挠度理论分析 P θ R A Plsin(  )Rlcos(  )0 Rkl[sin(  )sin ] ] sin( ) sin cos( )[1       Pkl   0;得: d dP ε P/kl θ O ε=0 ε=0.1 ε=0.2 1 0.785 0.38 0.660 0.42 1.37 1.47 π/2    3 1 sin(  )sin 2 3 3 2 P kl(1sin  ) cr P/kl O ε 1 0.2 0.660 0.1 0.785 0.3 0.556 这个非完善体系是极值点失稳. Pcr 随ε增大而减小

2)按小挠度理论分析 设:c<<1,6<<1 R=klin(0+8-sina] P P=kl- R E P=kl C P E=0 A 0.8 各曲线都以水平直线P/k=1 0.6F 为渐近线并得出相同的临界 0.4 荷载值Pcr=kl 0.2 对于非完善体系,小挠度理 0.40.8121.6 论不能得出随着ε的增大Pcr 会逐渐减小的结论

9 ] sin( ) sin cos( )[1       Pkl   2 3 3 2 p kl(1sin  ) cr P l k EI = ∞ 2）按小挠度理论分析 P θ R A Rkl[sin(  )sin ] ε P/kl θ O 设：ε<<1，θ<<1 P kl P kl cr       P kl P kl cr       ε=0 ε=0.1 ε=0 ε .2 = 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1 0.8 0.6 0.4 0.2 各曲线都以水平直线 P/kl=1 为渐近线,并得出相同的临界 荷载值Pcr=kl 对于非完善体系，小挠度理 论不能得出随着ε的增大Pcr 会逐渐减小的结论

3、几点认识 )一般说来,完善体系是分支点失稳,非完善体系是极值 点失稳。 2)分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉,在交叉 点出现平衡形式的二重性,极值点失稳只存在一个平衡路径,但 平衡路径上出现极值点 3)只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论,但小 挠度理论比较简单适用,特别是在分支点失稳问题中通常也能得 出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。 4)在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳 问题更具有典型性,就失稳的突发性而言,更有必要首先加以研 究;另外,在许多情况下,分支点临界荷载可作为极限荷载的上 限考虑。 以下只订论完善体系分支点失稳问题, 并由小挠度理论求临界荷载

10 3、几点认识 1）一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值 点失稳。 2）分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉 点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径， 但 平衡路径上出现极值点。 3）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小 挠度理论比较简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得 出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。 4）在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳 问题更具有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研 究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为极限荷载的上 限考虑。 以下只讨论完善体系分支点失稳问题， 并由小挠度理论求临界荷载