郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第十六章 结构的稳定计算

体系总势能:=+Up=(-2P)y2+2Pyy2+(k-2P)y2] A-2(1×￥02)2+2(1-P=3P) P Ql (k-2P)2 总势能∏是位移y、y2的对称实数二次型。 如果P<k/3=Pe,是正定的。 如果P=k/3=Po,是半正定的(当y=y2时,m=0)。 如果P>k,Ⅱ是负定的。 如果P=k,Ⅱ是半负定的(当y=y2时,=0)。 非正定 如果M/3<P<k,Ⅱ是不定的。 由此可见,多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是: 在荷载达到临界值的前后,势能由正定过渡到非正定。 (或说:势能达极值,位移有非零值)

16 •体系总势能: [( 2 ) 2 ( 2 ) ] 2 1 2 1 2 2 2 1    kl P y  Py y  kl P y l  U UP             2 2 2 2 1 2 ( 2 ) ( )( 3 ) ) 2 ( 2 2 kl P y kl P kl P y kl P P y l kl P 总势能Π是位移y1、y2的对称实数二次型。 •如果P<kl/3=Pcr， Π是正定的。 •如果kl/3< P<kl， Π是不定的。 •如果P=kl/3=Pcr， Π是半正定的（当y1=—y2 时， Π =0）。 •如果P=kl， Π是半负定的（当y1=y2 时， Π =0）。 •如果P>kl， Π是负定的。 由此可见，多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是： 在荷载达到临界值的前后，势能Π由正定过渡到非正定。 （或说：势能达极值，位移有非零值） 非 正 定

例2:用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。P 静力法 两个自由度,取0102 为位移参数,设失稳曲 线如图。 分析受力列平衡方程: 实际失稳曲线 BC:∑MB=P1-k(1-02 AC:∑MB=P(B1+62)-k6 0622 由位移参数不全为零得稳 Pl-k k 只是理论上存在的失稳曲线 0展 Pl PI-k k k k 解得:B=0.38,P2=262,,P=P=0.38 求失稳曲线将P=0.38元代入(1)得 1.62 实际的失稳曲线 k 0.62 将P2=262代入()得 这种失稳曲线只在理论上存在

17 P 1  2 P l l A B k C 例2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。 1、静力法： •两个自由度，取θ1 θ2 为位移参数，设失稳曲 线如图。 •分析受力列平衡方程： 2 k ( ) 1 2 k   BC: ( ) 0  M B  P1 l  k 1  2  AC: ( ) 0  M B  P 1  2 l  k 2  ( ) 0 (2) ( ) 0 (1) 1 2 1 2              Pl Pl k Pl k k •由位移参数不全为零得稳定方程并求解： 0 3 0 (3) 2 2                    l k l k P P Pl Pl k Pl k k 展开得： l k P P l k P l k P cr 0.38 2.62 , 0.38 解得： 1  2   1  •求失稳曲线：将 代入（）得 。实际的失稳曲线。 1 1.62 0.38 1 2 1 1     l k P 将 。 代入（）得 。这种失稳曲线只在理论上存在。 1 0.62 2 62 1 2 1 2      l k P 62 2 1.   2 实际失稳曲线 62 2 2  0.   只是理论上存在的失稳曲线

2、能量法 ●外力势能 k(0,-0 k6 U=-Pn λ=△la+△l △=1- l cos e=2lsin2=l102→=l(1+02) 应变能:U=号k2+k(01-02)2=k(2-2002+202) 总势能:∏=U+Up=号k(012-2002+202)-Pl(O2+02) 根据势能驻值条件 由位移参数不全为零得稳定方程: ob=0→(P/-k)O1+k2=0 Pl-k k OI1=0→kB1+(P1-2kO2+=0 =0展开得:(3)式 k Pl-2k 06 以下计算同静力法

18 2、能量法： •外力势能： P 1  2 P l l A B k C 2 k ( ) 1 2 k   AB BC P l l U P       l l λ 2 2 1 2 2 cos 2 sin   l  l  l  l  l ( ) 2 2 2 2 1 1  l  l   ( ) 2 2 2 1 2     Pl UP •应变能： ( ) ( 2 2 ) 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 U  k  k    k       •总势能： ( 2 2 ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1  U UP  k        Pl   •根据势能驻值条件： 0 ( 2 ) 0 0 ( ) 0 1 2 2 1 2 1       ¶ ¶      ¶ ¶       k Pl k Pl k k •由位移参数不全为零得稳定方程： 0 展开得：(3)式 2         k Pl k Pl k k •以下计算同静力法

例3:用静力法求图 BEl 示体系的临界荷载 C EL 两个自由度,取0102 为位移参数,设失稳曲 线如图。 分析受力列平衡方程:十B 6EI BC BEI B 62=0 BEl 0+(P1--)2=0…(1) AC:2M,=P1(0,+0,)-6EL0,-3EL0=0 6El (Pl )0+(、3E1 )62=0…(2) P-3E/ °由位移参数不全为零得稳定方程 0 Pl-6EI/ PI-3El/ BEI BEl 解得:P 6El Pr=P

19 例3：用静力法求图 示体系的临界荷载。 •两个自由度，取θ1 θ2 为位移参数，设失稳曲 线如图。 •分析受力列平衡方程： BC: ) 0 (1) 3 0 ( 0 3 1 2 2 2             l EI Pl l EI M Pl B AC: •由位移参数不全为零得稳定方程： 0 6 3 0 3          Pl EI l Pl EI l Pl EI l 1 2 2 2 1 2 3 , 3 6 l EI P P l EI P l EI 解得：P   cr   l l l EI 2EI EI = ∞ EI = ∞ A B C P 1  2 B A B C P  2 2 3  l EI 2 6  l EI 1 0 6 3 ( )   1  2  1   2  l EI l EI M Pl A ) 0 (2) 3 ) ( 6 (   1   2   l EI Pl l EI Pl P

例3:用能量法求图示体 BEl 系的临界荷载 C EL °两个自由度,取0102 为位移参数,设失稳曲 求变性能和外力势能:2;02 线如图 B 6El U=1367 1 6El 6,, 当杆件上无 BEl 外荷载作用 2012+2) △凵时,杆端力 2l 的功=变形能 Pl Up=-P=-P(+2)=--(62+02) 22 BEl BEl P Ⅱ102(202+92)-2(92+02) BEI Pl )2 2 2l2 6El P)B1=0-0>P 6El 0→ 3EI =0→( P)O,=0-20 P EL 20

20 例3：用能量法求图示体 系的临界荷载。 •两个自由度，取θ1 θ2 为位移参数，设失稳曲 线如图。 •求变性能和外力势能： (2 ) 2 3 6 2 3 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1           l EI l EI l EI U l l l EI 2EI EI = ∞ EI = ∞ A B C P 1  2 B A B C P  2 2 3  l EI 1 6  l EI 1 ( ) 2 ) 2 2 ( 2 2 2 1 2 2 2 1       l       l l Pl UP P P P 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ) 2 2 3 ) ( 2 3 ( ) ( 2 (2 ) 2 3       Pl l Pl EI l Pl EI l EI  U UP         Pcr l EI Pl P l EI l EI Pl P l EI 2 2 0 2 2 1 2 0 1 1 3 ) 0 3 0 ( 6 ) 0 6 0 ( 2 1        ¶ ¶        ¶ ¶         当杆件上无 外荷载作用 时，杆端力 的功=变形能