E(X)=xf(rdx=x/ x/0 dx 2-x/6 r e b2x-x4x=26 +2 于是D(X)=E(2)[E(2=202-02=02 即有E(X)=e,D(X)=02
7 于是 D(X)=E(X2 )-[E(X)]2=2 2- 2= 2 . 即有 E(X)=, D(X)= 2 . e 2 e d 2 , e d 1 ( ) ( )d 2 0 / 0 2 / 0 2 2 2 / | = - + = = = - - - - x x x E X x f x x x x x x x
方差的几个重要性质 (1)设C是常数,则D(C)=0 2)设X是随机变量,C是常数,D(CX=C2D( (3)对任意两个随机变量X,y, D(x+)=D()+D(Y) +2E{[XxE(A)[Y-E(功]}(2.5) 特别,若X,Y相互独立,则 D(x+)=D(+D(Y) (26) (4)D(η)=0的充要条件是X以概率1取常数C, P{X=C}=1
8 方差的几个重要性质 (1) 设C是常数, 则D(C)=0. (2) 设X是随机变量, C是常数, D(CX)=C2D(X). (3) 对任意两个随机变量X,Y, D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} (2.5) 特别, 若X,Y相互独立, 则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) (2.6) (4) D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C, P{X=C}=1
证(4)证略.下面证明()2)、3) (1)D(C)=E{C-E(C]2}=0 (2)D(CX)=E{CY-E(C)2}=C2E{XE()]2} CD(X) (3)D(+Y)=E{[(+)-E(+)]2} E{[X-E()]}+E{Y-E(Y)]2} +2E{[X-E(O)[Y-E(]} D(x)+D()+2E{[X-E(O)[Y-E(Y)]} 如X,Y相互独立,则XE(X)与Y-E(Y也相互独 立,则E{XE(Y-E(Y)]} ELX-E(XJELY-EYIO
9 证 (4)证略. 下面证明(1),(2),(3) (1) D(C)=E{[C-E(C)]2}=0 (2) D(CX)=E{[CX-E(CX)]2}=C2E{[X-E(X)]2} =C2D(X). (3) D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2} =E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2} +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}. 如X,Y相互独立, 则X-E(X)与Y-E(Y)也相互独 立, 则E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =E[X-E(X)]E[Y-E(Y)]=0
例6设Xb(n2D)求E(X,D(X) 解由二项分布的定义知,随机变量X是n重伯 努利试验中事件A发生的次数,且在每次试验 中A发生的概率为p.引入随机变量: 1,A在第k次试验发生, X=10.,A在第次试验不发生=12n 易知X=X1+X2+…+Xn (2.7) 由于ⅹ只依赖于第k次试验,而各次试验相互 独立,于是X1,X2,n相互独立
10 例6 设X~b(n,p)求E(X),D(X). 解 由二项分布的定义知, 随机变量X是n重伯 努利试验中事件A发生的次数, 且在每次试验 中A发生的概率为p. 引入随机变量: 1,2, . 0, , 1, , k n A k A k Xk = = 在第 次试验不发生 在第 次试验发生 易知 X=X1+X2+...+Xn , (2.7) 由于Xk只依赖于第k次试验, 而各次试验相互 独立, 于是X1 ,X2 ,...,Xn相互独立
又知Xk=-1,2,…,n服从同一(0-1)分布 X,01 Pk1-p p (27表明以n2p为参数的二项分布变量,可分 解为n个相互独立且都服从以为参数的(0-1) 分布的随机变量之和 由例2知E(X)=P,D(X)=Pp(1-p),k=1,2,,n,则 E(X)=E∑X E(XN=np
11 又知Xk ,k=1,2,...,n服从同一(0-1)分布: p p p X k k 1- 0 1 ( ) ( ) . 1 1 E X E X E X np n k k n k k = = = = = (2.7)表明以n,p为参数的二项分布变量, 可分 解为n个相互独立且都服从以p为参数的(0-1) 分布的随机变量之和. 由例2知E(Xk )=p, D(Xk )=p(1-p), k=1,2,...,n, 则