54 Gauss求积公式 对于机械求积公式 (x)x=∑4/(x)+/门 (54.1) 略去余式R[/],由定理5.2知,它如果是插值型求 积公式,则至少有n次代数精度
5.4 Gauss求积公式 对于机械求积公式 （5.4.1） 略去余式 R f [ ]，由定理 5.1.2 知，它如果是插值型求 积公式，则至少有 n 次代数精度。 ( ) ( ) [ ] 0 f x dx A f x R f k b a n k = k + =
从式(54.1)可以看出,待定参数 A2x(k=0,1…m)共2n+2个,如果令 f(x)=1,x,x2…,x2使求积公式(541)精确成 立,即R[/0,从理论上看,建立了求 Ax(k=0,1…n)的2n+2个代数方程组
从 式 (5.4.1) 可 以 看 出 ， 待 定 参 数 , 0,1, ( ) A x k n k k = 共 2 2 n+ 个，如果令 ( ) 2 2 1 1, , , , n f x x x x + = 使求积公式(5.4.1)精确成 立，即 R f [ ]= 0 ，从理论上看，建立了求 ( ) , 0,1, A x k n k k = 的 2 2 n+ 个代数方程组
∑Ax1 (6 )(j=0,12 +1 (542) 如果从式(542)解得Ak,x(k=0,12…n),则求积 公式(541)将有2n+1次代数精度。 下面我们就一个例子来看:
(5.4.2) 如果从式(5.4.2)解得 , 0,1, ( ) A x k n k k = ，则求积 公式(5.4.1)将有2 1 n+ 次代数精度。 下面我们就一个例子来看： ( ) ( 0,1,2,... ) 1 1 1 1 0 b a j n j A x j j n k j k k − = + = + + =
例541试决定参数A,A1,x0,x,使求积公式 ff(x)ax= Ao(xo)+Af(x,) 具有3次代数精度 解令f(x)=1,x,x2x3,代入求积公式得 A0+A1 Axo +AxI=o (2) Aox+A 3 Ax3+A1x3=0
例 5.4.1 试决定参数 0 1 0 1 A A x x , , , ，使求积公式 具有 3 次代数精度。 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 f x dx = A f x + A f x − 解 令 ( ) 2 3 f x x x x = 1, , , ，代入求积公式得 + = + = + = + = 0 (4) (3) 3 2 0 (2) 2 (1) 3 1 3 0 2 1 2 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 A x A x A x A x A x A x A A
由式(1)及式(2)可解得 2 (5) A 由式(3)及式(4)可解得 2x (6)
由式(1)及式(2)可解得 由式(3)及式(4)可解得 (5) 2 2 1 0 0 1 1 0 1 0 − − = − = x x x A x x x A (6) 3 ( ) 2 3 ( ) 2 1 0 2 0 1 1 0 2 1 0 1 0 − − = − = x x x x A x x x x A