西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第9讲 可逆矩阵

例设A 10)求4的逆阵 解训用待定系数法是A的逆矩阵 则AB= 2 b)(10 2a+c2b+d)(10 b

例 设 , 1 0 2 1        A  求A的逆阵. 解 设  是 的逆矩阵,       c d a b B A 则               c d a b AB 1 0 2 1        0 1 1 0                   0 1 2 2 1 0 a b a c b d 利用待定系数法

2a+c=1 2b+d=0, b=-1 C b=1 d=2. 又因为 A B BA 21(0 0 21 0 所以 0-1

             1, 0, 2 0, 2 1, b a b d a c           2. 1, 1, 0, d c b a 又因为        1 0 2 1        1 2 0 1        1 0 2 1         1 2 0 1 , 0 1 1 0        所以 . 1 2 0 1 1          A AB BA

二、矩阵可逆的条件 定理1矩阵A可逆的充要条件是A≠0,且 其中A*为矩阵A的伴随矩阵 证明若A可逆,即有A使AA1=E 故AA=E=1,所以A≠0 当A≠0时

定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 , 1 1   A A A A A  0 证明 若 A 可逆， A AA  E. 即有 1使 1 1, 1     故 A A E 所以 A  0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵.  当 A  0时, 二、矩阵可逆的条件

当A≠0时, 1①12 a1A1+a12412+…+an4n=4 anAn+a,A,+…+anAn=A n nn n O

当 A  0时,               n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA               1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 21 22 2 11 12 1 a11A11  a12A12  a1nA1n  A an1An1  an2An2  annAnn  A ,        A A A A O O 

AA=AA=AE→A A=E 按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当4=0时,A称为奇异矩阵当A≠0时,A称为 非奇异矩阵 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵

AA  A A  AE   A E, A A A A  A     . 1 A A A    按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 非奇异矩阵 当A  时 A称为奇异矩阵 当A  时 A称为 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件是 A为非奇异矩阵