线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作
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第十六讲向量组的秩 等价向量组 最大线性无关组 向量组的秩 等价向量组的秩 求最大线性无关组的初等变换法
第十六讲 向量组的秩 • 等价向量组 • 最大线性无关组 • 向量组的秩 • 等价向量组的秩 • 求最大线性无关组的初等变换法 • 小结
、等价向量组 如果向量组B,B2…B中每一个向量 都可由向量组a1,a2…,c线性表示,即有一组表示式: B1=p1(1+p21O2+…+p3Qs B2=P121+p2Q2+…+p B1=p1Q1+p2C2+…+p3 向量组B,B2…B可由向量组a12aa2a线性表示 也可以写成矩阵形式: Pu p pI B1B2…B=x1a2 p21 p p2r ps1 ps2 p AB1B2…B=[a1 p
一、等价向量组 都可由向量组 线性表示，即有一组表 示式： 如果向量组 中每一个向量 1 2 s 1 2 r , , , , , , , r 1r 1 2r 2 sr s 2 12 1 22 2 s2 s 1 11 1 21 2 s1 s p p p p p p p p p 也可以写成矩阵形式： 向量组1 , 2 ,, r可由向量组 1 , 2 ,, s线性表示。 P , p p p p p p p p p 1 2 r 1 2 s s1 s2 sr 21 22 2r 11 12 1r 1 2 r 1 2 s
定义34如果向量组a,a2,…,a与向量组β,B2,…,B 可以相互线性表示, 则称向量组α1,a2…,a、与向量组,B2,…,β等价,记为 [a,a2…,a3~[B,B2,…,B] 向量组的等价关系有如下基本性质: (1)自反性αx,a2…,a、]~[a,a2…,a (2)对称性:若α,a2,…,a3]~[,B,…,B 则B,B2…,B~[α,a2…,asl (3)传递性:若[a;,a2…,α、]~[A,月2,…,B 且[B,B2,…,B~[y,y2…,y
[ ] ~ [ ] 3.4 1 2 s 1 2 r 1 2 s 1 2 r 1 2 s 1 2 r ， ， ， ， ， ， 则称向量组 ， ， ， 与向量组 ， ， ， 等价，记为 可以相互线性表示， 定义 如果向量组 ， ， ， 与向量组 ， ， ， (1)自反性[1， 2，，s ] ~ [1， 2，，s ]； 向量组的等价关系有如下基本性质： 则 ， ， ， ， ， ， ； 对称性：若 ， ， ， ， ， ， ， [ ] ~ [ ] (2) [ ] ~ [ ] 1 2 r 1 2 s 1 2 s 1 2 r [ ] ~ [ ]. [ ] ~ [ ], (3) [ ] ~ [ ] 1 2 s 1 2 t 1 2 r 1 2 t 1 2 s 1 2 r 则 ， ， ， ， ， ， 且 ， ， ， ， ， ， 传递性：若 ， ， ， ， ， ， ，
例37设向量组a1,a2,a3线性相关,a2,a3,a1线性无关,问 (1)a能否由a2,a3线性表示? (2)a能否由a1,a2,ax线性表示? 解()因为∝2,a3,a4线性无关, 所以其部分组a,a3定线性无关, 但是给αx,∝3添加a后线性相关, 由定理32知,a必能由a2,3线性表示 (2)于a能由a2,a3线性表示,所以{a,a2,a3}~{a2,a3} 假设a』能由a1,a2,a线性表示, 则由传递性可推出a能由a2,a3线性表示, 这与a2,ax,a线性无关矛盾, 故a不能由a,a2,a3线性表示
能否由 ， ， 线性表示？ 能否由 ， 线性表示？ 例 设向量组 ， ， 线性相关， ， ， 线性无关，问 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 (2) (1) 3.7 所以其部分组 ， 一定线性无关， 解 因为 ， ， 线性无关， 2 3 2 3 4 (1) 由定理 知， 必能由 ， 线性表示。 但是给 ， 添加 后线性相关， 1 2 3 2 3 1 3.2 (2) { } ~ { }. 由于1能由 2，3线性表示，所以 1， 2，3 2，3 则由传递性可推出 能由 ， 线性表示， 假设 能由 ， ， 线性表示， 4 2 3 4 1 2 3 故 不能由 ， ， 线性表示。 这与 ， ， 线性无关矛盾， 4 1 2 3 2 3 4