线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作
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第十七讲向量空间的基与维数 向量空间的定义 向量空间的基与维数 坐标及坐标变换
第十七讲 向量空间的基与维数 • 向量空间的定义 • 向量空间的基与维数 • 坐标及坐标变换 • 小结
向量空间的定义 定义37设是由一些n维向量组成的集合,如果V非空 且集合对于加法及数乘两种运算封闭,则称集合V为 向量空间。 由n维向量的全体所组成的集合R是一个向量空间 仅由零向量组成的集合也是一个向量空间 集合V1={0,x2,X3…xn)x2x32…xn∈R} Va,B∈V1,O=(0,x2x32…,Xn),B=(0,y2y32…yn) a+B=(0,x2+y2x3+y32…;Xn+yn) ∨k∈R,ka=(0,kx2kx3…,kxn),故V是向量空间
一、向量空间的定义 定义3.7 设V是由一些n维向量组成的集合，如果V非空， 且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称集合V为 向量空间。 由n维向量的全体所组成的集合Rn是一个向量空间。 仅由零向量组成的集合也是一个向量空间。 （ ， 故 是向量空间。 （ ， （ ， （ ， 集合 （ ， 2 3 n 1 2 2 3 3 n n 1 2 3 n 2 3 n 1 2 3 n 2 3 n k R,k 0 kx ,kx , ,kx ), V 0 x y , x y , , x y ) , V , 0 x , x , , x ), 0 y , y , , y ), V { 0 x , x , , x )| x , x , , x R}
集合2={(x1,x2,x32;X)x1+x2+…+xn=0x,x2x3…,xn∈R} Va,BEV,a=(x, X2, x3, ,x),B=y, y2,y3,,y,), a+B=(X, +y1, x2+y2, x3+y3,,x+y,) X1+x2+…+xn=02y1+y2+…+yn=0 (x12+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)+…+(xn+yn)=0 k∈Rka=(kx,kx2kx2kx) kx+kx+kx+…+kxn=k(x1+x2+…+xn)=k0=0 故V是向量空间
故 是向量空间。 （ ， （ （ （ 集合 （ 1 1 2 3 n 1 2 n 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 3 3 n n 2 1 2 3 n 1 2 3 n 2 1 2 3 n 1 2 n 1 2 3 n V kx kx kx kx k(x x x ) k0 0 k R,k kx kx ,kx , ,kx ), (x , y ) (x y ) (x y ) (x y ) 0 x x x 0,y y y 0 x , y ,x y ,x y , ,x y ) , V, x ,x ,x , ,x ), y ,y ,y , ,y ), V { x ,x ,x , ,x )|x x x 0,x ,x ,x , ,x R}
集合V3={(,x2Xx3…;X)x2x3…;Xn∈R a,B∈V2a=(1,x2,x32…,X),B=(,y2,y32…,yn a+ β=②2,x2+y2x3+y32…xn+yn)≠Ⅴ Vk≠1ka=(k,kx2,kx3…;kxn)≠V2故V不是向量空间 集合V={(x1x2x3…x)x1+X2+…+xn=12x1,x2x2…;xn∈R ya,P∈v4, VC=(x,X、X2…,X B=(y12y2 n aB=(x1,+y12x2+y2x3+y3;…2xn+yn) X1+X2+…+Xn=1,y1+y2+…+yn=1 (x12+y1)+(x2+y2)+(X3+y3)+…+(xn+yn)=1+1=2 Vk∈R,且≠1ka=(kx1,kx2kx3;…kx1) kx1+kx2+kx3+…+kxn=k(x1+x2+…+xn)=kl=k 故V不是向量空间
（ ， 故 不是向量空间。 （ ， （， （， 集合 （， 2 3 n 3 3 2 2 3 3 n n 3 3 2 3 n 2 3 n 3 2 3 n 2 3 n k 1,k k kx ,kx , ,kx ) V , V 2 x y ,x y , ,x y ) V , V , 1 x ,x , ,x ), 1 y ,y , ,y ), V { 1 x ,x , ,x )| x ,x , ,x R} 故 不是向量空间。 且 （ ， （ （ （ 集合 （ 4 1 2 3 n 1 2 n 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 3 3 n n 4 1 2 3 n 1 2 3 n 4 1 2 3 n 1 2 n 1 2 3 n V kx kx kx kx k(x x x ) k1 k k R, k 1,k kx kx ,kx , ,kx ), (x , y ) (x y ) (x y ) (x y ) 1 1 2 x x x 1,y y y 1 x , y ,x y ,x y , ,x y ) , V , x ,x ,x , ,x ), y ,y ,y , ,y ), V { x ,x ,x , ,x )| x x x 1,x ,x ,x , ,x R}