线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作
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第十三讲矩阵的秩 矩阵秩的定义 初等变换与矩阵的秩 再论矩阵的等价标准形 等价标准形应用举例 小结
第十三讲 矩阵的秩 • 矩阵秩的定义 • 初等变换与矩阵的秩 • 再论矩阵的等价标准形 • 等价标准形应用举例 • 小结
、矩阵秩的定乂 任何矩阵 mxn g 总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形,行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的.矩阵的秩 定义1在m×n矩阵A中任取k行k列(k≤m, k≤n),位于这些行列交叉处的个k2元素不改 变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式
. , 数是唯一确定的 把它变为行阶 梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 任何矩阵 Amn 总可经过有限次初等行 变换 . , 1 , 2 称为矩阵 的 阶子式 变它们在 中所处的位置次序而得 的 阶行列式， ），位于这些行列交叉 处的个 元素 不改 定义 在 矩阵 中任取 行 列（ A k A k k n k m n A k k k m 一 、矩阵秩的定义 矩阵的秩
mxn矩阵A的k阶子式共有Ck·Ck个 定义2设在矩阵A中有一个不等于0的k阶子 式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等 于0,那末D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r 称为矩阵A的秩,记作R(4)并规定零矩阵的秩 等于零 m×n矩阵A的秩R(4)是A中不等于零的 子式的最高阶数 对于A,显有R(A)=R(A
. ( ) . 0 1 2 0 等于零 称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩 于 ，那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 式 ，且所有 阶子式（如果存在的话 ）全等 定义 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子 A R A D A r D r A k . ( ) 子式的最高阶数 m n 矩阵 A的秩 R A 是 A中不等于零的 对于 A T ， R(A ) R(A). T 显有 矩阵 的 阶子式共有 个. k n k m n A k Cm C
由秩的定义及行列式的性质可以推出以下结论: (1)若A是m行n列矩阵,则R(A)≤min{m,n}; (2)若A是n阶方阵,mR(A)=n<deA≠0, 或R(A)< n deta=0; (3)若A有一个r阶子式不为零,则R(A)≥r; (4)若A的所有r+阶子式全为零,则R(A)≤r; 定理24R(A)=r的充要条件为A有一个r阶子式不 为零,而所有P1阶子式(如果有的话)全为零
由秩的定义及行列式的性质可以推出以下结论： （1）若A是m行n列矩阵，则 R(A) min{m,n}; (2)若A是n阶方阵，则 R(A) n detA 0; R(A) n detA 0, 或 （3）若A有一个r阶子式不为零，则 R(A) r; （4）若A的所有r+1阶子式全为零，则 R(A) r; 定理2.4 R(A)=r的充要条件为A有一个r阶子式不 为零，而所有r+1阶子式（如果有的话）全为零