即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中, 方次最高的必出现在dn(4)的分解式中,次高的必 出现在dn1()的分解式中 如此顺推下去,可知属于同一个一次因式的方幂 的初等因子,在不变因子的分解式中出现的位置是 唯一确定的
即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中， 方次最高的必出现在 dn ( ) 的分解式中，次高的必 出现在 的分解式中. 1 ( ) n d − 如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂 的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是 唯一确定的
③设n级矩阵A的全部初等因子为已知 在全部初等因子中,将同一个一次因式 (孔-λ1)j=1,2, 的方幂的那些初等因子按降幂排列,而且当这种初 等因子的个数不足n个时,则在后面补上适当个数 的1,使其凑成n个,设所得排列为 (元-1)",(-1 ,(-元
③ 设 n 级矩阵 A 的全部初等因子为已知. 在全部初等因子中，将同一个一次因式 ( ) 1,2, j − =j r 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初 等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数 的1，使其凑成n个，设所得排列为 1, 1 ( ) , ( ) , , ( ) , 1,2, . n j n j j k k k j j j j r − − − − =
于是令 d(x)=(λ-A1)(λ-12)2…(-1)",i=1,2,…,n 则d1(x),d2(x),…,dn(x) 就是A的不变因子
于是令 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2, , i i ir k k k i r d x i n = − − − = 则 1 2 ( ), ( ), , ( ) n d x d x d x 就是A的不变因子
例1、已知3级矩阵A的初等因子为:(4-1)2,元-2 求A的不变因子 解:作排列(2-1)2,1,1 -2,1,1 得A的不变因子为: d3(x)=(元-1)(-2)
例1、已知3级矩阵A的初等因子为： 2 ( 1) , 2. − − 求A的不变因子. 解：作排列 2 ( 1) , 1, 1 − − 2, 1, 1 得A的不变因子为： 2 3 d x( ) ( 1) ( 2), = − − 2 1 d x d x ( ) ( ) 1. = =