证设A的互不相等的特征值为λ1,λ2,…,s, 它们的重数分别为r1,r2,…,,rs(r+r2+…+ s=n)。由定理3知,对应特征值i(=1,2,,s) 恰有ri个线性无关的实特征向量,把它们正交化并单 位化,即得r个单位正交的特征向量。由r1+r2 +…+rs=n知这样的特征向量共有n个。又由定理6 知对应于不同的特征值的特征向量正交,故这n个单 位特征向量两两正交。于是以它们为列向量构成正 交阵P,并有P-1AP=A,其中对角阵A的对角元素 含r1个λ1,…,『s个λs,恰是A的n个特征值
证 设A的互不相等的特征值为1，2，… ，s， 它们的重数分别为r1，r2，… ，rs（r1 + r2 + … + rs = n）。由定理3知，对应特征值i (i = 1,2,… ,s) 恰有ri个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单 位化，即得ri个单位正交的特征向量。由r1 + r2 + … +rs = n知这样的特征向量共有n个。又由定理6 知对应于不同的特征值的特征向量正交，故这n个单 位特征向量两两正交。于是以它们为列向量构成正 交阵P，并有P−1AP = ，其中对角阵的对角元素 含r1个1，… ，rs个s，恰是A的n个特征值
定理4的证明实际上提供了将n阶实对称阵A对角 化的方法: 1.求出A的所有特征值λ1,λ2,…,λs,其中 为A的n重特征根(i=1,2,…,s)且 n1+n2++ns=n。 2对每个特征值,解齐次线性方程组(A-x)x= 0,求得一个基础解系,并将它们正交化 (i=1,2,…,s),得到一个正交向量组。 3将得到的所有的正交向量组单位化 4用得到的正交单位向量组(列向量组)构成正交 阵P,则有P-1AP=A,且对角阵A的主对角元素 是A的n个特征值
定理4的证明实际上提供了将n阶实对称阵A对角 化的方法： 1. 求出A的所有特征值1，2，… ，s，其中I 为A的ni重特征根（i=1，2，… ，s）且 n1+n2+…+ns=n。 2.对每个特征值I，解齐次线性方程组(A −iE )x = 0，求得一个基础解系，并将它们正交化 （i=1，2，… ，s），得到一个正交向量组。 3.将得到的所有的正交向量组单位化。 4.用得到的正交单位向量组（列向量组）构成正交 阵P，则有P−1AP=，且对角阵的主对角元素 是A的n个特征值