第三、第见意爆习 五、试求初值问题 R:x+1≤1，y≤1 y(-1)=0 的解的存在区间，在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解 的表达式， 解：由存在唯一性定理知，解的存在区间为x+1≤h 而h=mima,7)a=l,6=1 所以么=mim4,子} M=max x2-y2 =4 定理滨茬的解的存在区间为小x+1列≤子，即-x≤} (x,y)ER 高2 2.L=2 lp(x)-p(x)≤ 24 1 (n+1)！2"(n+1):
11 第三、第四章复习 = − + − = 2 2 : 1 1, 1 ( 1) 0 dy x y dx R x y y 五、试求初值问题 的解的存在区间，在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解 的表达式. = = = min( , ) 1, 1 b h a a b M 而 2 2 ( , ) max 4 x y R M x y = − = 解： 由存在唯一性定理知，解的存在区间为 x h + 1 1 1 4 x + − − 5 3 4 4 定理1保证的解的存在区间为 ，即 x = − = 2 2 2 f y L y 1 1 min(1, ) 4 4 所以h = = 1 1 ( ) 2 4 4 1 ( ) ( ) ( 1)! 2 ( 1)! n n n n x x n n + − = + +
第三、第四章复习 若取n=2,则 11=1<1=0.05 2"(n+1)！4(2+1)！4×3!2420 所以我们求P2(,则P2()满足要求. 取(x)=y(-1)=0 p四=0+小x-0-3x+ 3 =0+r-兮+= ,x3x4x,11 36318942 9,(x)为所求近似解.在区间 子上切与特解 的误差不超过0.05
12 = = = = + + 1 1 1 1 1 0.05 2 ( 1)! 4(2 1)! 4 3! 24 20 n n 若取n=2，则 第三、第四章复习 2 ( ) x 2 所以我们求 ，则 ( ) x 满足要求. 0 取 ( ) ( 1) 0 x y = − 2 3 1 1 1 1 ( ) 0 ( 0) 3 3 x x x dx x − = + − = + 3 7 4 2 3 2 2 1 1 1 11 ( ) 0 [ ( ) ] 3 3 3 63 18 9 42 x x x x x x x x dx − = + − + = + − − + 2 ( ) x − − 5 3 , 4 4 2 为所求近似解. 在区间 上 ( ) x 与精确解 的 误差不超过0.05
第三、第见章组习 六、利用存在唯一 性定理推出方程y=√-少具有唯一解的区域 阿广收”农长< 在区域-1<y<1内连续， 因而方程具有唯一解的区域是 七、设方程x"+9x=0之一积分曲线通过点（π，-1），且在该点和直线 x+1=t-π相切，求这曲线 解设所求曲线方程为x=x(),则问题实际上是求初值问题 x"+9x=0 x(π)=-1，x'(π)=1 的解.特征方程为22+9=0，特征根是入=±3i.故方程的通解是 x(t)=c cos3t+c2 sin 3t 由初始条件得 2G-6-子因此、所求南线为 -c=-1 0=cos3-号 sin 3t
13 第三、第四章复习 2 六、利用存在唯一性定理推出方程y y = −1 具有唯一解的区域 2 2 ( , ) 1 ( , ) 1 1 1 y y f x y y f x y y y = − = − − − 解 右端函数 及偏导数 在区域 内连续, 因而方程具有唯一解的区域是 − + − x y , 1 1 9 0 ( , 1) 1 . x x , x+ = t - 七、设方程 + = 之一积分曲线通过点 − 且在该点和直线 相切，求这曲线 解 设所求曲线方程为x x t = ( ),则问题实际上是求初值问题 9 0 ( ) 1, ( ) 1 x x x x + = = − = 的解. 2 特征方程为 + = 9 0,特征根是 = 3i. 故方程的通解是 1 2 x t c t c t ( ) cos3 sin3 = + 1 1 2 2 1 1 1 3 1 3 c c c c − = − = = − − = 由初始条件得 ， ，因此，所求曲线为 1 ( ) cos3 sin 3 3 x t t t = −
第三、第四章复习 八.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间 成正比（比例系数为k)的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力， 这阻力和速度成正比（比例系数为k2)。试求此质点的速度与时间的关系。 解：由物理知识得： a=- 金其中为质点的加速度，「为质点受到的合外力 m 居题意 F合=kt-k放： =k1-kr(k2>0) m dt dt (*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有 =的a0之套 em +c) 14
14 第三、第四章复习 (其中 为质点的加速度，F 合 为质点受到的合外力) 合 a m F a = ( 0) = k1 t − k2 v k2 dt dv m ( ) (*) 2 1 t m k v m k dt dv + − = ( ) 2 2 1 t e dt c m k V e d t m k d t m k + = − ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 e c k m k t e k k e t m k t m k t m k = − + − 八. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间 成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力， 这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。 解：由物理知识得： 根据题意： F k t k v 合 = 1 − 2 故： 即： (*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有
白0时，=0，故c= mk 此质点的速度与时间的关系为： V= k。+(t- 好 k2 15 ①
15 因此，此质点的速度与时间的关系为： 又当t=0时，V=0，故c= 2 2 1 k mk ( ) 2 2 1 2 2 1 2 k m t k k e k m k V t m k = + − −