第三、第四。第五章复习 p(t)=(exp At)n=ei 24-]752 )若有个互异的特征根入1，乙2，入x,(在上面的情形中 n,=1,k=n),则(5.52)变为 )=会eEv,-会"四 而)若A只有一个特征根入，即2为A的n重根， 即-客H-A 我们也可以从(5.52)中得到exp At .令 0 0 e1,7 e) 0 0
6 1 0 ( ) (exp ) ( ) 5.52 ! （ ） n i t i i t t At e A E i − = = = − 第三、第四，第五章复习 i) 若 有 n 个互异的特征根 1 2 , ,., , k （在上面的情形中 1, ), n k n j = = 则（5.52）变为 A 1 1 ( ) j j n n t t j j j j t e Ev e v = = = = ii) 若 A 只有 一 个特征根 ，即 为 A 的 n 重根， 1 0 exp ( ) ! n i t i i t At e A E i − = == − ∴ 令 1 2 1 0 0 0 1 0 , ,., : : : 0 0 1 e e en = = = = = = 我们也可以从(5.52)中得到 exp At
第三、第四，第五章星习 得n个解(exp At)e1,(exp At)e2,(exp At)en (t)=[(exp At)e,(exp At)ez,.,(exp At)e,]=(exp At)E=exp At 注 如果有不同的特征根入1，入2，对应的特征向量 V13 V22.Vn (t)=(eav,et v2emvn) 是(5.33)的一个基解矩阵，且 exp t=(t)(0) ①
7 1 2 得n At e At e At e 个解(exp ) ,(exp ) ,.,(exp ) n ， 第三、第四，第五章复习 1 2 ( ) [(exp ) ,(exp ) ,.,(exp ) ] (exp ) exp n = = = t At e At e At e At E At 如果 有 个不同的特征根 n 1 2 , ,., ,对应的特征向量 n 1 2 , ,., v v vn 注: A 1 2 1 2 ( ) ( , ,., ) t t n t n t e v e v e v = 是（5.33）的一个基解矩阵，且 1 exp ( ) (0) At t − =
第三、第四章冕习 练习： 1、试判断方程=xa在区域 dx 1)R:-1≤x≤1,0≤y≤π； 2风1x14y平 上是否满足解的存在唯一性的条件 解D不满足.因为在区域R,上，方程右段函数以xa0当)=乃时不连续， 解2)满足.因为在区域R2上，方程右端函数f,戶xtay连续且 fx以 cos"y ≤2有界
8 第三、第四章复习 练习： 1 dy = xtany dx 、试判断方程 在区域 1 2 1 : 1 1,0 ; 2) : 1 1, ; 4 4 R x y R x y − − − ） 上是否满足解的存在唯一性的条件 1 f(x, y) xtany y = 2 解 ）不满足 1 .因为在区域R 上，方程右段函数 = 当 时不连续. 2 y f(x, y) xtany x f (x, y) y 2 2 解 ）满足.因为在区域R 上，方程右端函数 = 连续且 = 2有界. cos
上第三、第四章螺习 三、证明若y=y(x)是微分方程y=p(x)yV1+y的满足y(O)=0的解，则y)三0， 其中p(x)是-o<x<+oo上的连续函数. #右常至就FF”-金全半在线 因而过平面上任一点，y,所给方程的解存在且唯 因为0是方程满足y0)=O的解，由解的唯一性得y(t)≡0 ①
9 第三、第四章复习 2 ( ) ( ) 1 (0) 0 0, ( ) y y x y p x y y y y(x) p x x = = + = − + 三、证明若 是微分方程 的满足 的解，则 其中 是 上的连续函数. 2 2 ( ) 1 ( ) 1 , y 0 0 y f(x, y)= p x y y f (x, y)= p x y (x , y ) + + 解 右端函数 及 在全平面连续， 因而过平面上任一点 所给方程的解存在且唯一. 因为0 ( ) 0 是方程满足y(0)= 0 y t 的解，由解的唯一性得
第三、第四章组习 四、p(x)在区间-0<x<+0上连续，试证明方程 y =o(x)sin y d 的所有解的存在区间必为(-0，+∞) 解方程右端函数f(x,y)=p(x)siny在全平面连续，因而过平面上任一 点(x,y)的解存在方程过(x,y,)的解为 10 ①
10 第三、第四章复习 四、( )x x 在区间− +上连续，试证明方程 ( )sin dy x y dx = 的所有解的存在区间必为（- ，+ ） 0 0 0 0 ( , ) ( )sin ) . ) f x y x y x , y x , y 解 方程右端函数 = 在全平面连续，因而过平面上任一 点( 的解存在方程过( 的解为