2定义.设∑为光滑的有向曲面,在∑上定义了一个 向量场A=(P(x,y,z),Q(x,y,z,R(x,y,z),若对Σ的任 意分割和在局部面元上任意取点,下列极限都存在 im∑P(51,n,s)AS)y2 +,h,)AS)=x+R(5125AS)xy] 则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积 分,或第二类曲面积分.记作 ∫ Prydz+addx+ Rdx dy d PQ,R叫做被积函数;Σ叫做积分曲面 R HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, = n i 1 Q i i i Si zx + ( , , )( ) 分, Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy 记作 P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 A = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)), 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 2. 定义. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Pdyd称为P在有向曲面上对y的曲面积分 ! oded称为Q在有向曲面∑上对=x的曲面积分; ∫ Rdxdy称为R在有向曲面∑上对xy的曲面积分 引例中,流过有向曲面∑的流体的流量为 4= Pdydz+odzdx+rdx dy 若记∑正侧的单位法向量为n=(cosa,cosB,cosy) 7 ds=nds=(d ydz, dzdx, dxd y) A=(P(x,y,=),Q(x,y,z),R(x,y,z)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为 Pd y d z 称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分; Rd xd y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分; = Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy 若记 正侧的单位法向量为 令 n = (cos , cos , cos ) d S = nd S = (d yd z, d zd x, d xd y) A = (P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Pdydz+odzdx+rdxdy =LAndS=LAdS 3性质 (1)若∑=∪∑;且∑;之间无公共内点则 IddS=>』,AdS (2)用Σ表示Σ的反向曲面,则 A·dS HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
3. 性质 (1) 若 之间无公共内点, 则 (2) 用 ˉ 表示 的反向曲面, 则 Ad S i A d S Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = A nd S = Ad S 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、对坐标的曲面积分的计算法 定理:设光滑曲面Σ:z=2(x,y),(x,y)∈D3y取上侧 R(x,y,z)是∑上的连续函数则 RO x,y,dxd R(,y,(x,y))dxd D y 证:R(x,y,2)dxdy=im∑R(51,2)(AS)y ∑取上侧,(AS)y=(A)xy ;=z(5,nh) im∑R(5,mn,2(5,n)(△G) In R(x,y, z(x, y))dxd y D HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、对坐标的曲面积分的计算法 定理: 设光滑曲面 取上侧, 是 上的连续函数, 则 R(x, y,z)d xd y ( , , ) = D x y R x y z(x, y) d xd y 证: 0 lim → = = n i 1 i xy (S ) i xy ∵ 取上侧 = ( ) , ( , ) i i i = z 0 lim → = = n i 1 ( , , ) R i i i xy ( ) R x y z x,y x y Dxy ( , , ( ))d d = R(x, y,z)d xd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明:如果积分曲面Σ取下侧,则 JR(, , 2)dxdy=- R(x, y,2(x, y)dxd 若Σ:x=x(y,z),(y,2)∈Dyz,则有 P(x, 3, a)dyds=D P(x(,2),2,2)dydz (前正后负) 若∑:y=y(z,x),(z,x)∈D2x,则有 ,O(x, y, 2)dzdx=+ o(x, y(,x),z )dzdx (右正左负) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
• 若 则有 P(x, y,z)d ydz P( , y,z) Dyz = x(y,z) d y d z • 若 则有 Q(x, y,z)d z d x ( , , z ) = Dzx Q x y(z, x) d z d x (前正后负) (右正左负) 说明: 如果积分曲面 取下侧, 则 R(x, y,z)d xd y ( , , ) = − Dxy R x y z(x, y) d xd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束