由于Van+b2san|+|bn因此 ∑√a2+b2≤∑|an|+∑|bnb n=1 所以当∑a与∑b绝对收敛时,∑a也绝对 n=1 收敛,因此>a绝对收敛的充要条件是 ∑an与∑b绝对收敛
12 . , , | | | |, | | | |, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 与 绝对收敛 收敛 因此 绝对收敛的充要条件是 所以当 与 绝对收敛时 也绝对 由于 因此 = = = = = = = = = + + + + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a a
§2幂级数
13 §2 幂级数
1.幂级数的概念设{n(z)}(n=-1,2,)为一复变 函数序列,其中各项在区域D内有定义表达式 ∑f1(z)=f(z)+f2(z)+…+f(z)+…(42) 称为复变函数项级数.最前面n项的和 Sn(z)=(z)+(zx)+.+(2z) 称为这级数的部分和
14 1. 幂级数的概念 设{fn (z)}(n=1,2,...)为一复变 函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式 ( ) ( ) ( ) ( ) (4.2.1) 1 2 1 = + ++ + = f z f z f z f z n n n 称为复变函数项级数. 最前面n项的和 sn (z)=f1 (z)+f2 (z)+...+fn (z) 称为这级数的部分和
如果对于D内的某一点z0,极限 lim Sn (Zo)=S(zo n→>0 存在,则称复变函数项级数(42.1)在z收敛,而 s(z0)称为它的和如果级数在D内处处收敛,则 它的和一定是z的一个函数s(z) S(z)=f1(z)+2(z)+…+n(z)+ 称级数∑fn(2)的和函数
15 存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而 s(z0 )称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则 它的和一定是z的一个函数s(z): s(z)=f1 (z)+f2 (z)+...+fn (z)+... s(z)称为级数 的和函数 如果对于D内的某一点z0 , 极限 lim ( ) ( ) 0 0 s z s z n n = → =1 ( ) n n f z
当f(z)=Cn-1(z-aym或f(2)=Cn1zn1时,就得到函 数项级数的特殊情形 >Cn(z-a"=Co+G(z-a)+C2(2-a)2+ n=0 +…+Cn(z-a)"+…(4.2.2) 或∑cnz”=c0+1z+c2+…+cnz+…(4.2.3) 0 这种级数称为幂级数 如果令za=5,则(42.2)成为 这是 (42.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论
16 这种级数称为幂级数. 如果令z-a=z, 则(4.2.2)成为 , 这是 (4.2.3)的形式, 为了方便, 今后常就(4.2.3)讨论 当fn (z)=cn-1 (z-a) n-1或fn (z)=cn-1 z n-1时, 就得到函 数项级数的特殊情形: (4.2.3) ( ) (4.2.2) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 2 0 1 2 0 = + + + + + + + - + - = + - + - + = = n n n n n n n n n n c z c c z c z c z c z a c z a c c z a c z a 或 n=0 n n c z