定理二级数∑an收敛的充要条件是级数 ∑a和∑bn都收敛 证]因n=a1+a2+…+an=(a1+a2+.+an) +i(b +b2+...+bn=ntit, 其中σn=a1+a2+.….+an,G=b1+b2+…+bn分别为 ∑an和∑b的部分和,由定理 s有极限存在的充要条件是{G和{v}的极 限存在,即级数∑an和∑b都收敛
7 定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛 [证] 因sn =a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an ) +i(b1+b2+...+bn )=sn +itn , 其中sn =a1+a2+...+an , tn =b1+b2+...+bn分别为 和 的部分和, 由定理一, {sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极 限存在, 即级数 和 都收敛. n=1 a n n=1 n a n=1 bn n=1 n a n=1 n b n=1 n a n=1 n b
定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数 项级数的审敛问题 oo 而由实数项级数∑an和∑b收敛的必要条件 lim a=0和imb=0 n→00 n→0 立即可得mman=0,从而推出复数项级数 n→>0 ∑a收敛的必要条件是man=0
8 定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数 项级数的审敛问题. lim 0. lim 0, lim 0 lim 0, 1 1 1 = = = = → = → → → = = n n n n n n n n n n n n n n a b a b a a a 收敛的必要条件是 立即可得 从而推出复数项级数 和 而由实数项级数 和 收敛的必要条件
定理三 如果∑|an收敛则∑an也收敛,且不等式 ∑a∑|an成立 n=1 n=1 由于∑|an|=∑Va2+b T a, kv a +b2, b,kva +b2
9 定理三 成立 如果 收敛 则 也收敛 且不等式 = = = = 1 1 1 1 | | | | , , n n n n n n n n a a a a 2 2 2 2 1 2 2 1 | | ,| | | | , n n n n n n n n n n n a a b b a b a a b + + = + = = 而 由于 [证]
可知级数∑|an收∑|b嘟收敛,因而 ∑a和∑b也都收敛,则∑a,是收敛的 而义因aa因此 k=1 lim lim ∑ k=1 k=1 或∑aA∑|a k=1
10 = = = → = → = = = = = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | | lim lim | | | |, , . | | | | , k k k k n k k n n k k n n k k n k k n n n n n n n n n n a b a b a a a a a a a 或 而又因 因此 和 也都收敛 则 是收敛的 可知级数 及 都收敛 因而
如果∑|an|收敛则称级数∑a绝对收敛 n=1 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数
11. | | , . 1 1 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数 如果 收敛 则称级数 绝对收敛 = = n n n an a