例6证明imx2=x子 分析要使 x2-x=|x-x‖x+x<6, 可以先限制x-x。<1,因为此时有 x+x=x-x+2x≤x-x+2|x <1+2|x, 所以x2-x≤(1+2)x-x,故只要 1x-xK1+2|x 前页 后页 返回
前页 后页 返回 例6 证明 lim . 2 0 2 0 x x x x , 0 0 2 0 2 x x x x x x 可以先限制 1, 因为此时有 x x0 0 0 0 0 0 x x x x x x x x 2 2 所以 ( 1 2 0 ) 0 , 故只要 2 0 2 x x x x x . 1 2 0 0 x x x 分析 要使 0 1 2 , x
正g>0,a=m1-0-<6 时，有 x-x<6. 这就证明了 四= 前页 后页 返回
前页 后页 返回 这就证明了 . 2 0 2 x x lim . 2 0 2 0 x x x x 证 , 1 2 min 1, 0 x 0 , 取 当0 x x0 时, 有
注在例5、例6中，我们将所考虑的式子适当放大， 其目的就是为了更简洁地求出6，或许所求出的6 不是“最佳”的，但这不影响我们解题的有效性 例7求证： (1)lim sinx=sinxo; (2)limc0sx=cosxo· x->Xo 前页 后页 返回
前页 后页 返回 例7 求证： 0 0 (1) lim sin sin ; x x x x 注 在例5、例6中, 我们将所考虑的式子适当放大, 不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的 0 0 (2) lim cos cos . x x x x
证首先，在右图所示的单位圆内， 当0<x<严时，显然有 22 SAOAD<S扇形O4D<SAOAB, 即 *<2tan. 1,1 1 -sinx< 前页 后页 返回
前页 后页 返回 证 首先，在右图所示的单位圆内, π 0 , 2 当 x 时 显然有 即 , SOAD S扇形OAD SOAB tan , 2 1 2 1 sin 2 1 x x x 故 π sin tan 0 . 2 x x x x O C D B A y x x
因为当x≥时，sinx≤1<x,故对一切x>0, 有sinx<x.又因为sinx,x均是奇函数，故 sinx≤x,x∈R. 上式中的等号仅在x=0时成立 对于任意正数，取6=6，当0<x-x<6时， m-imx=2w2n分 x一Xo ≤x-x0<E
前页 后页 返回 上式中的等号仅在x 0 时成立. π , 2 因为当 x 时 sin x 1 x , 故对一切 x 0 , sin x x , x R. 有 sin x x. 又因为 sin x, x 均是奇函数, 故 0 0 0 sin sin 2 cos sin 2 2 x x x x x x 对于任意正数 取 , 0 , , 当 x x0 时 0 x x