从定义1、2、3不难得到： 定理3.1f(x)定义在o的一个邻域内，则 Iimf(x)=A的充要条件是： lim f(x)=lim f(x)=4. X→-00 例知arctan.=-交arcta 元 2 则由定理31，limarctanx不存在. 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 从定义1、2 、3 不难得到: lim f (x) lim f (x) A. x x 定理 3.1 f (x)定义在 的一个邻域内，则 x x limarctan 则由定理 3.1， 不存在. f x A x lim ( ) 的充要条件是： π π lim arctan , lim arctan , x x 2 2 x x 例如
二、x趋于x0时的函数极限 设函数fx)在点x的某空心邻域U(x)内有定义. 下面我们直接给出函数f(x)当x→x,时以常数A 为极限的定义. 定义4设f(x)在点x,的某空心邻域U(x)内有 定义，A是一个常数.如果对于任意正数ε，存在正 数6，当x∈U°(x,6)cU(x)时， f(x)-A<6, 前
前页 后页 返回 二、x趋于x0 时的函数极限 设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 ( ) 内有定义. U x0 数 , ( , ) ( ) , 当 xU x U x0 时 f (x) A , 定义4 设 f (x) 在点 x0 的某空心邻域U (x)内有 定义，A是一个常数.如果对于任意正数 ,存在正 为极限的定义. 下面我们直接给出函数 f (x) 时以常数 A 当 x x0
则称f(x)当x→x,时以A为极限.记为 lim f(x)=A x->xo 或者 f(x)>A(x→x). 例5证明1mx-1 .Wx+1-21 x-> 2N2 分析对于任意正数8，要找到6>0，当0<|x-11<6 时，使 前页 后页 返回
前页 后页 返回 或者 0 lim ( ) x x f x A ( ) ( ). x A x x0 f ( ) . 则称 f x 当 x x0 时以 A为极限 记为 例5 证明 . 2 2 1 1 1 2 lim 1 x x x 时, 使 分析 对于任意正数 ,要找到 0, 当0 | x 1|
√x+1-√2 _-1 x-1 2W5 √x+1-V2 |x-1 22(x+1+√2) 2V2(Wx+1+V2<6.() 因 x-1 2W2(Vc+1+2x-1g 只要x-1<,(*)式就能成立，故取6=ε即可. 证任给正数e,取6=6，当0<x-x<6时， 前页 后页 返回
前页 后页 返回 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 x x x 因 2 1 1 , 2 2( 1 2) x x x 只要 x 1 , ( ) 式就能成立, 故取 即可. 证 , 0 任给正数 , 取 当0 x x 时, ( ) 2 1 2 1 . 2 2( 1 2) 2 2( 1 2) x x x x
√x+1-√21 x-1 22 ≤x-1<e, 这就证明了 Vx+1-21 x-1 x→1 221 前页 后页 返回
前页 后页 返回 这就证明了 1 , 2 2 1 1 1 2 x x x . 2 2 1 1 1 2 lim 1 x x x