南阳师范大学：《线性代数》课程教学资源（练习题）考研辅导练习题——第一部分 矩阵与行列式

第一部分矩阵与行列式 、选择题 .A=dz an as B=2az dus da+az 且4=m,则B= a1aa」2a1aga1+a (A)m:(B)-8m:(C)2m:(D)-2m. 2.下列n阶行列式中，取值必为1的是 11 11 (A) (B) 11 1 00…01 10 01…00 (c) 1. (D)非：.： .0 00…10 10 10…00 3.设a,a,a,月，B2均为4维列向量，A=[a,a2,a,B],B=[a,a,a2,B],且 A=1B=2,则A+B= (A)9:(B)6:(C)3:(D)1. 4.设A=[a,a2,a]是三阶矩阵，则A= (A)a-a a-a a-a:(B)a+a,a+a,a;+al: (c)a+2a,aa+al:(D)aa+a,a+a 5.已知a,a2,月，月，y都是3维列向量，且行列式 la月1=laB=la月=la月，Y=3, 那么-2ya4+a月+2B= (A)18:(B)36:(C)64:(D)-96. 6设n阶矩阵A=a,a,,a,1B=[a,a,a,,a小，若行列式=l,则4-- (A)0:(B)2:(C)1+(-1)1(D)1+(-1)n

第一部分    矩阵与行列式 一、选择题 1.设 11 12 13 11 13 11 12 21 22 23 21 23 21 22 31 32 33 31 33 31 32 2 , 2 2 a a a a a aa A aaaB aaaa aa a aa aa                 ，且 A  m，则 B  （A） m ；（B） ；（ 8m C） ；（ 2m D） 2m。 2.下列 n 阶行列式中，取值必为‐1 的是 （A） 1 1 1 1  ；       （B） 1 1 1 1 1 1 1 1   ； （C） 0 1 1 0 1 0 1 0   ；      （D） 00 01 01 00 00 10 10 00        . 3. 设 12312  ,,,,  均 为 4 维列向量， 12 31 312 2 A B  [ , , , ], [ , , , ]       ， 且 A B   1, 2 ，则 A  B （A）9；    （B）6；    （C）3；    （D）1. 4.设 123 A  [, , ]    是三阶矩阵，则 A  （A） 12 23 3  1 ；    （B） 12 2 3 31    ； （C） 1 232 2    1 ；      （D） 1 23 21    。 5.已知 1212  ,,,,  都是 3 维列向量，且行列式 11 1 2 21 2 2           3， 那么 12 1 2   2 2     n （A）‐18； （B）‐36；    （C）64；    （D）‐96. 6.设 n 阶矩阵 1 2 12 1 [ , , , ], [ , , , , ] A B          n n  ，若行列式 A 1，则 A  B （A）0；    （B）2；    （C）1+（‐1）n+1；    （D）1+（‐1）n

[1020 0-200 7.设矩阵A= -010矩阵B满足AB+B+A+2E=0.则B+ 0001J 1 (A)-6:(B)6:(C) 1 2:o)2 「200] 8.已知A=013,矩阵B满足AB+2A=B,其中A是A的伴随矩阵，则B= 025 1 9.设A为三阶方阵，金是A的件随矩阵，4-=；，则4A-(3A)川 (A)}(B)3:(c)6:(D)9. 10.已知2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a,则D= (A)0:(B)a2:(c)-a2:(D)na2. 11.设A是三阶矩阵，A是A的伴随矩阵，己知A的每行元素之和为k,A的每行元素之 和为m,则A= Ahm:(B)(Irm:(cg(o(-旷高 12.设A是三阶矩阵，其中a1≠0，A,=a,i=1,2,3,j=12,3,则24= (A)0:(B)2:(C)4:(D)8. 13.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且n>m,则必有 (A)4B=0:(B)BA=0:(C)4B=BA:(D)AB4B=4B4B. 14.设A,B是n阶矩阵，则下列结论正确的是 (A)AB=O白A=O且B=O: (B)A=0A=0: (c)AB=0台A=0或B=0: (D)A=1÷A=E

7.设矩阵 ，矩阵 1 0 20 0 200 1 0 10 0 0 01 A                B 满足 AB B A E O    2 ，则 B E  （A）‐6；（B）6；（C） 1 12  ；（D） 1 12 8.已知 ，矩阵 200 013 025 A            B 满足 * 1 AB A B 2    * ，其中 是A A 的伴随矩阵，则 B  （A） 2 15 ；（B） 2 9 ；（C） 1 30 ；（D） 1 12 。 9.设 A 为三阶方阵， 是* A A 的伴随矩阵， 1 3 A  ，则 * 1 4 (3 ) A A    （A） 1 3 ；（B）3；（C）6；（D）9. 10.已知 阶行列式 的某一列元素及其余子式都等于 ，则 2n D a D  （A）0；（B） ；（ a 2 C） ；（ a 2 D） 。2 na 11.设 A 是三阶矩阵， 是* A A 的伴随矩阵，已知 A 的每行元素之和为 ， 的每行元素之 和为 ，则 k * A m A  （A） km ；（B）( 1) ；（C） n  km m k ；（D）  1 n k m  。 12.设 A 是三阶矩阵，其中 ， 11 a  0 , 1, 2,3, 1, 2,3 A ai j ij ij    ，则 2 T A  （A）0；（B）2；（C）4；（D）8. 13.设 A 是 矩阵， m n  B 是 矩阵，且 ，则必有 n m n m （A） AB  0；（B） BA  0；（C） AB BA  ；（D） AB AB AB AB  。 14.设 A, B 是 阶矩阵，则下列结论正确的是 n （A） AB O A O  且 ； B O （B） AO A   0； （C） AB A   0 0或 B  0； （D） A   1 A E

[00521 15.设A= 0021 1300 ,则A= 1200 「001-2 「00-231 (A) 00-25 :(B) 001-1 2-300 1-200 -1100 -2500 「001-3] [00-131 (c) 00-12 1-200o 001-2 -1200 -2500 2-500 16.设A,B均为n阶可逆矩阵，正确的法则是 (A)(A+B)(A-B)=A-B2; (B)(A+B)=A+B: (C)(A+B)2=A2+2AB+B2: (D)(AB)=BA。 17.设A是n阶可逆阵，则下列等式不成立的是 (A)(A+)=A2+2A4+(A)P: (B)(4+4)=4+244+(4); (C)(A+Ay2=A2+2AA+(A): (D)(A+E)2=+2AE+E2. 18.设A,B均为n阶可逆矩阵，且(A+B)2=E,则(E+BA= (A)(A+B)B:(B)E+AB:(C)A(A+B):(D)(A+B)A. 19.设A,B均为n阶方阵，且(AB)=E,则必有 (A)A-=B:(B)AB=E AB=-E:(C)AB=E:(D)A-=BAB 20下列命题中，(1)如果矩阵AB=E,则A可逆，且A=B:(2)如果n阶矩阵A,B满

15.设 ，则 0052 0021 1300 1200 A              1 A  （A） ；（B） 001 2 0 0 25 2 30 0 11 0 0           0 0 23 001 1 1 20 0 25 0 0                ； （C） ；（D） 001 3 0 0 12 1 20 0 25 0 0           0 0 13 0 0 1 2 12 0 0 2 50 0                。 16.设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，正确的法则是 （A） ； 2 2 ( )( ) ABAB A B   （B） ； 1 1 ( ) AB A B     1 2 * （C） ； 2 2 () 2 A B A AB B    （D） 。 * * ( ) AB B A  17.设 A 是 阶可逆阵，则下列等式不成立的是 n （A） ； 12 2 1 12 ( ) 2( A A A AA A      )  2 ) T ) 2 （B） ； 2 2 ( ) 2( T T A A A AA A    （C） ； *2 2 * *2 ( ) 2( A A A AA A    （D） 。 2 2 () 2 A E A AE E    18.设 A, B 均为 阶可逆矩阵，且 n 2 ( ) AB E   ，则 1 1 ( ) E BA    （A）(A  B B) ；（B） ；（C） 1 E AB  A(A B  ) ；（D）( ) A  B A 。 19.设 A, B 均为 阶方阵，且 n 2 ( ) AB E  ，则必有 （A） ；（B） 1 A  B AB E  或 AB  E ；（C） AB E  ；（D） 1 A BA   B 20 下列命题中，（1）如果矩阵 AB E  ，则 A 可逆，且 1 A  B ；（2）如果 n 阶矩阵 A, B 满

足(AB)2=E,则(BA)=E:(3)如果矩阵AB均为n阶不可逆，则A+B必不可逆：(4) 如果矩阵A,B均不可逆，则AB必不可逆。 上述命题中，正确的命题有 (A)(1)(2):(B)(1)(4):(C)(2)(3):(D)(2)(4)。 21.设A,B均为n阶矩阵，且AB=A+B,则 (1)若A可逆，则B可逆，(2)若B可逆，则A+B可逆，(3)若A+B可逆，则AB可 逆，(4)A-E恒可逆。 上述命题中，正确的命题共有 (A)1个：(B)2个：(C)3个：(D)4个 22.关于命题“方阵A满足=A,且A≠E,则A不可逆”有如下四种证明，正确的是 (A)由于A2=A,所以A=A,故AA-1)=0,因为A≠E,故A≠1，因此A=0, A不可逆。 (B)由于=A,故A(A-E)=0,由于A≠E,从而A-E≠O,故A=O,所以A不 可逆。 (C)反证法：若A可逆，在A=A两边左乘A,得A=E,与假设条件A≠E矛盾， 所以A不可逆。 (D)由于=A,故AA-E)=0,从而AA-E=0,而A≠E,所以A-E≠0 因此A=0,A不可逆。 23.设A,B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是 (A)A+B是对称矩阵。(B)AB是对称矩阵。 (C)A+B*是对称矩阵。(D)A-2B是对称矩阵。 24.设A,B均为三阶反对称矩阵，且AB=BA,则下列结论不正确的是 (A)A+B是反对称矩阵。(B)AB是对称矩阵。 (C)A+B*是反对称矩阵。(D)2A+3B是反对称矩阵。 25.设A=E-25,其中5=[x,x2,,x了，且有55=1，则结论(1)A是对称阵： (2)A是单位阵：(3)A是正交阵：(4)A是可逆阵中正确的个数是 (A)1.(2)2.(3)3.(4)4. 26.设A为正交矩阵，则下列不一定为正交阵的是

足 ，则 2 ( ) AB E  2 ( ) BA  E ；（3）如果矩阵 A, B 均为 n 阶不可逆，则 A B 必不可逆；（4） 如果矩阵 A, B 均不可逆，则 AB 必不可逆。 上述命题中，正确的命题有 （A）（1）（2）；（B）（1）（4）；（C）（2）（3）；（D）（2）（4）。 21.设 A, B 均为 阶矩阵，且 n AB AB   ，则 （1）若 A 可逆，则 B 可逆，（2）若 B 可逆，则 A B 可逆，（3）若 A B 可逆，则 AB 可 逆，（4） A E 恒可逆。 上述命题中，正确的命题共有 （A）1 个；（B）2 个；（C）3 个；（D）4 个。 22.关于命题“方阵 A 满足 ，且 2 A  A A  E ，则 A 不可逆”有如下四种证明，正确的是 （A）由于 ，所以 2 A  A 2 A  A ，故 A A( 1)   0，因为 A  E ，故 A 1，因此 A  0， A 不可逆。 （B）由于 ，故 ，由于 2 A  A AA E ( )   0 A  E ，从而 AE O   ，故 ，所以 A O A 不 可逆。 （C）反证法：若 A 可逆，在 两边左乘 2 A  1 A A ，得 A  E ，与假设条件 A  E 矛盾， 所以 A 不可逆。 （D）由于 ，故 ，从而 2 A  A AA E ( )   0 AA E  0 ，而 A  E ，所以 A E  0 ， 因此 A  0， A 不可逆。 23.设 A, B 均为 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是 n （A） A B 是对称矩阵。（B） AB 是对称矩阵。 （C） 是对称矩阵。（D） * A B  * A 2B 是对称矩阵。 24.设 A, B 均为三阶反对称矩阵，且 AB BA  ，则下列结论不正确的是 （A） A B 是反对称矩阵。（B） AB 是对称矩阵。 （C） 是反对称矩阵。（D） 2 3 A B  是反对称矩阵。 * A B  * 25.设 2 T A E    ，其中 1 2 [, , , ]T n   x x x  ，且有 1 T    ，则结论（1） A 是对称阵； （2） 是单位阵；（3）A 是正交阵；（4）A 是可逆阵中正确的个数是 2 A （A）1. （2）2. （3）3. （4）4. 26.设 A 为正交矩阵，则下列不一定为正交阵的是

(A)A。(B)。(3)A。(4)k4k≠0). 7 27.设A=a1a24aB=4: a42 「100][100][0101 R=010B=010B=100则B= 201021001 (A)PPA。(B)BPA。(C)APB·(D)APB· 28.已知AB均是三阶矩阵，将A中第3行得-2倍加至第2行得到矩阵A,将B中第2列 「100 加至第1列得到矩阵B,又知AB=020,则AB 003 「100]「1001「1001「1001 A)-226。(B)226(C)-124(D)12-4 003003003003 [123]「0011「1001 29.设A=456,P=010,2=-110,那么(P-1)A001)= 789100001 [80451005712069] 「402323] (A)456。(B)1005956。 7 8 9」 1609589 「1231 「120133] (c)201540276039.(D)480496 789 7140859 30.设A与B均为n阶矩阵，且A与B等价，则不正确的命题是 (A)A>0,则B>0 (B)如果A≠0，则有可逆矩阵P使PB=E。 (C)如果A等价于E,则B是可逆矩阵。 (D)有可逆矩阵P与Q,使PAQ=B

（A） 。（B） 。（3） 。（4） T A 2 A * A kA k( 0  ) 。 27.设 ， 11 12 13 21 22 23 21 22 23 11 12 13 31 32 33 31 11 32 12 33 13 , 222 aaa a a a Aa a a B a a a aa a a aa aa a                    123 100 100 010 0 1 0, 0 1 0, 1 0 0 201 021 001 PPP           ，则 B  （A） 。 PPA 1 3 （B） 。（ PPA 2 3 C） 。（ AP P3 2 D） 。 APP1 3 28.已知 A, B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行得‐2 倍加至第 2 行得到矩阵 ，将 A1 B 中第 2 列 加至第 1 列得到矩阵 B1，又知 A B1 1 100 0 2 0 003            ，则 AB  （A） 。（B） 1 00 226 0 03            10 0 2 2 6 00 3            。（C） 1 00 124 0 03            。（D） 10 0 12 4 00 3            。 29.设 ，那么 123 001 1 00 4 5 6, 0 1 0, 1 1 0 789 100 0 01 APQ                   2012   1 2011 1 P AQ( )  （A） 。（B） 8045 10057 12069 45 6 78 9       4023 2 3 10059 5 6 16095 8 9           。 （C） 。 （D） 123 2015 4027 6039 789       1 2013 3 4 8049 6 7 14085 9           。 30.设 A 与 B 均为 阶矩阵，且 n A 与 B 等价，则不正确的命题是 （A） A  0，则 B  0。 （B）如果 A  0 ，则有可逆矩阵 使P PB E  。 （C）如果 A 等价于 E ，则 B 是可逆矩阵。 （D）有可逆矩阵 与P Q ，使 PAQ B 