2.展开式的唯一性 利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数,这样 的展开式是否唯一? 结论解析函数展开成幂级数是唯一的,就是它 的 Taylor级数。 事实上,设f(z用另外的方法展开为幂级数: f(z)=a0+a1(z-z)+a2(z-x)2+…+an(z-a)+ 则f(z0)=a再由幂级数的逐项性质得, f∫"( (z)=a1+2a2(z-z0)+…+nan(-3 )+…→∫(z)=a1 ,依此类推得,an=∫(z)n=0,1,2
2. 展开式的唯一性 结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它 的Taylor级数。 利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？ 0 1 1 1 2 0 0 f '(z) a 2a (z z ) na (z z ) f '(z ) a n = + − + + n − + = − f (z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 ) 2 ++ an (z − z0 ) n + 事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数: 则 f (z0 ) = a0 ，再由幂级数的逐项求导性质得， ( ) 0,1,2, ! 1 , 0 ( ) = f z n = n a n 依此类推得， n
由此可见,任何解析函数展开成幂级数就是Tlor 级数,因而是唯一的。 当z0=0时,Tyor级数为: f(z)=∫(0)+f"(0)z+ z十 十 2! 函数展开成 Taylor级数的方法: 代公式--直接法 由展开式的唯一性,运用级数的代数运算、分 析运算和已知函数的展开式来展开一间接法
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。 当z0 = 0时,Taylor级数为： = + + + n + n z n f z f f z f f z ! (0) 2! ''(0) ( ) (0) '(0) ( ) 2 ---直接法 ---间接法 • 代公式 • 由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开 函数展开成Taylor级数的方法：
3.简单初等函数的泰勒展开式 例1求f()=e2,sinx,cos在x=0的 Talor 展开式 解 z\(n) ∵(e 2=1(n=0,1,2,…) z=0 1+z+ ×、亡 ∴—十 2!3 e在复平面上解析 该级数的收敛半R=+0
. 2! 3! ! 1 ( ) 1 ( 0,1,2, ) 2 3 0 0 ( ) = + = + + + + + + = = = = = R e n z z z e z e e n z n z z z z z n 该级数的收敛半径 在复平面上解析 3. 简单初等函数的泰勒展开式 . ( ) ,sin ,cos 0 展开式 求f z e z z在z 的Talor z 例1 = = 解
e SInZ= 2=2∑(当(my n=0 1+212k-1z2-1 ∑ (-1) -12k-1 2i(2k-1)!k(2k-1)!! Smnz=z一 少× 3 长(-1)z 2k-1 十 5!7! k(2k-1) 又cosz=(sinx) 2n 十 2!4! (2n) sinz,cosz在全平面上解析x它们的半径R=
− = − − = + = + = − 0 0 ! ( ) ! ( ) 2 1 2 sin n n n z i z i n n zi n zi i i e e z = − + −+ − + = (2 )! ( 1) 2! 4! 1 cos (sin )' 2 4 2 n z z z z z n n 又 sinz,cosz在全平面上解析，它们的半径R = + = + − − = − − − − = − = 1 1 2 1 1 2 1 2 1 (2 1)!! ( 1) (2 1)!! 2 2 1 k k k k k k k z k i z i + = − − − − = − + − + = 1 3 5 7 1 2 1 (2 1)!! ( 1) 3! 5! 7! sin k k k k z z z z z z
上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法 例2把下列函数展开成z的幂级数: (1)∫(z) 2)f(2= 1+ +n12(3)f()=hm(1+x) 解(1..1 =1+z+z ∴+z" <1 =1-z+…+(-1) <1 l+z1-(-z)
上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法. 例2 把下列函数展开成 z 的幂级数: (3) ( ) ln(1 ) (1 ) 1 (2) ( ) 1 1 (1) ( ) 2 f z z z f z z f z = + + = + = 解 1 1 1 1 (1) 2 = + + + + + − z z z z z n 1 ( 1) 1 1 ( ) 1 1 1 = − + + − + − − = + z z z z z n n