建立y0z面上曲线C:f(y,z)=0绕z轴旋转所成 旋转曲面的方程： 设M(x,y,)为曲面上任一点，它是曲线C上 点M(0,y,)绕z轴旋转而得到的.因此有如下关 系等式： f(1,)=0 z=21, M(0,y,） M(x/y, 故旋转曲面方程为 f(±Vx2+y2,)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
➢ 建立 yoz面上曲线C: 绕 z 轴旋转所成 旋转曲面的方程: 故旋转曲面方程为 f (y1 ,z1 ) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z 1 M (x, y,z) 2 2 1 z = z , x + y = y ( , ) 0 2 2 f x + y z = f (y,z) = 0 o z y x C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 M (x, y, z) 为曲面上任一点, 它是曲线 C上 点M1 (0, y1 , z1 )绕 z 轴旋转而得到的. 因此有如下关 系等式：
思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？ C:f(y,z)=0 f(y,±Vx2+z2)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ C : f (y,z) = 0 o y x z ( , ) 0 2 2 f y x + z = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.试建立顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为α 的圆锥面方程 解：在0z面上直线L的方程为 z=ycota 绕Z轴旋转时，圆锥面的方程为 M(0,y,2) z=±Vx2+y2cota 令a=cota 两边平方 22=a2(x2+y2) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为 z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 ( ) 2 2 2 2 z = a x + y x y z 两边平方 L M (0, y,z) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求坐标面x0z上的双曲线 2 x2 2-2 =1分别绕x 轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 解：绕x轴旋转所成曲面方程为 旋转奴叶双曲面 x2y2+2 a 绕z轴旋转所成曲面方程为 x2+y22 二1 这两种曲面都叫做旋转双曲面： HIGH EDUCATION PRESS 旋转单叶双曲面
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + − c y z a x 绕 z 轴旋转 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x 旋转双叶双曲面 旋转单叶双曲面
三、柱面 引例.分析方程x2+y2=R2表示怎样的曲面 分析：在x0y面上，x2+y2=R2表示圆C, 在圆C上任取一点M1(x,y,O),过此点作 平行z轴的直线1，对1上任意点M(x,y,) 的坐标也满足方程x2+y2=R2 这说明直线1一定在x2+y2=R表示的曲面上， 即沿曲线C平行于z轴的一切直线都在曲面上 因此这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线1 沿xOy面上的圆x2+2=2移动而形成的 x2+y2=R2表示圆柱面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结
x y z 三、柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 分析:在 xoy 面上， 表示圆C, 2 2 2 x + y = R 即 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线都在曲面上. 2 2 2 x + y = R 过此点作 平行 z 轴的直线 l ,对 l上任意 表示圆柱面 C o 在圆C上任取一点 ( , ,0), 1 M x y l M M1 点M (x, y,z) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 这说明直线l 一定在x 2+y 2=R2表示的曲面上， 因此这个曲面可以看成是由平行于 z 轴的直线 l 沿 xOy 面上的圆 x 2+y 2=R2 移动而形成的