有关性质 1.vf(x)∈Qx,彐r∈Q,使∫(x)=rg(x), 其中g(x)为本原多项式 (除了相差一个正负号外,这种表示法是唯一的) 2. Gauss引理 定理10两个本原多项式的积仍是本原多项式
有关性质 1． f x Q x r Q ( ) [ ], , 使 f x rg x ( ) ( ), = 其中 g x( ) 为本原多项式． （除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
证:设f(x)=anx"+an-1x+…+a, x)=bnxm+bnxm1+…+bo 是两个本原多项式 h(x)=f(xg(x)=dmx"+dMmxfm-+.+d 反证法.若h(x)不是本原的,则存在素数p, pd 0,1,…,n+m 又∫(x)是本原多项式,所以P不能整除f(x)的 每一个系数
设 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − = + + + − 1 1 0 ( ) m m m m g x b x b x b − = + + + − 是两个本原多项式． 1 1 0 ( ) ( ) ( ) n m n m h x f x g x d x d x d n m n m + + − = = + + + + + − 若 h x( ) 不是本原的，则存在素数 p, 证： | , 0,1, , . r p d r n m = + 又 f x( ) 是本原多项式，所以 p 不能整除 f x( ) 的 每一个系数． 反证法．
令a;为a,a1…,an中第一个不能被P整除的数,即 P|a1,…,P|a1-1,p+a1 同理,g(x)本原,令b为b,,bn中第一个不能被 P整除的数,即Pb,P|1…P|b-P十b 又 a.b.+ b.,+ i+1j-1 在这里Pd+p,p+ab;,p|4+1b/-1,…矛盾 故(x)是本原的
令 ai 为 a a a 0 1 , , , n 中第一个不能被 p 整除的数，即 1 1 | , , , . | | i i p a p a p a − 同理， g x( ) 本原，令 bj 为 b b 0 , , m 中第一个不能被 p 整除的数，即 0 1 1 | , | , | , , . | j j p b p b p b p b − 又 1 1 , i j i j i j d a b a b + + − = + + 在这里 p d p a b p a b | , , | , i j i j i j + + − | 1 1 矛盾． 故 h x( ) 是本原的．
、整系数多项式的因式分解 定理11若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式,则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积． 二、整系数多项式的因式分解