881.齐次方程的分离变数法 l/70回 偏微分分离∫常微分方程2一→解2 方程变数 本征解 常微分方程1 (解2×解1 齐次边分离。条件 解1 界条边变数 (本征函数) 本征值问题 所求解=∑本征解 本征值 初始确定叠加系数 条件 分析上述过程可知,对于线性齐次方程和线性齐次边界条件的定 解问题,可用分离变数的方法求解 虽然分离变数法得到的解是无穷级数,但是具体问题中,级数只 有前若干项是重要的 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 11/70 ©ÛþãL§§éu5àg§Ú5àg>.^½ )¯K§^©lCê{¦)© ,©lCê{)´Ã¡?꧴äN¯K¥§?ê kceZ´©
881.齐次方程的分离变数法 12/70回 812分离变数法的应用举例 对第一类齐次边界条件,上面已经建立了其解,现在讨论第二类 齐次边界条件的定解问题 大例1求解两端自由的杆的自由纵振动问题,其定解问题为 0, 8.1-17) uxkx=o =0, urI=I =0 (8.1-18) u=0=gp(x),ul=0=ψ(x),(0<x<D (8.1-19) 解:设分离变数形式的试探解为 u(x,t)=X(x)/(t) 81-20) 代入泛定方程81-17和边界条件(81-18),得 XT-aXT=0 (8.1-21) X"(0)T(t)=0,X(DT(t)=0. (8.1-22) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 12/70 8.1.2 ©lCê{A^Þ~ é1aàg>.^§þ¡®²ïá Ù)§y3?Ø1. . a. à. g. >. .. ^. . . ½. ). ¯. K. © ✿ ~¬¦)üàgd\gdpįK§Ù½)¯K utt − a 2uxx = 0, (8.1-17) ux|x=0 = 0, ux|x=l = 0, (8.1-18) u|t=0 = ϕ(x), ut |t=0 = ψ(x), (0 < x < l). (8.1-19) )µ©lCê/ªÁ&) u(x, t) = X(x)T(t), (8.1-20) \½§(8.1-17)Ú>.^(8.1-18)§ XT00 − a 2X 00T = 0, (8.1-21) X 0 (0)T(t) = 0, X 0 (l)T(t) = 0. (8.1-22)
881.齐次方程的分离变数法 13/70回 为了得到非零有意义的解,边界条件(81-22)只能为 X(0)=X(D)=0. (8.1-23) 对泛定方程(81-21),两边除以a2XT得 T X 上式两边相等是不可能的,除非两边相等且等于同一常数,记为 有 T X 这可分离为关于X和T的常微分方程,前者附带有条件(81-23),即 X"+AX=0, 8.1-24) X(0)=X(D)=0 和 T"+la2T=0. (8.1-25 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 13/70 "k¿Â)§>.^(8.1-22)U X 0 (0) = X 0 (l) = 0. (8.1-23) 齧(8.1-21)§ü>ر a 2XT T 00 a 2T = X 00 X , þªü> ´ØU§Øü> uÓ~ê§P −λ§k T 00 a 2T = X 00 X = −λ. ù©l'u X Ú T ~©§§cöNk^(8.1-23)§= X 00 + λX = 0, (8.1-24) X 0 (0) = X 0 (l) = 0; Ú T 00 + λa 2T = 0. (8.1-25)
881.齐次方程的分离变数法 14/70回 现在讨论本征值问题(81-24和(81-23)的解 叶当λ<0时 此时只能得到无意义的零解X(x)≡0 当λ=0时 (x)=C0+D 代入边界条件(8.1-23),得D0=0, X(x)=C0,C为任意常数 叶当A>0时 X(x)=Icos vx+ C2 sin vax, 代入条件(81-23),得 ⅤAC2=0 Ya(Ci sin VAL+ C2 COs vAl)=0 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 14/70 y3?Ø ¯K(8.1-24)Ú(8.1-23)). ✇ λ < 0 dUÿÂ") X(x) ≡ 0© ✇ λ = 0 X(x) = C0 + D0x, \>.^(8.1-23)§ D0 = 0§ X(x) = C0, C0?¿~ê. ✇ λ > 0 X(x) = C1 cos √ λx + C2 sin √ λx, \^ (8.1-23)§ √ λC2 = 0, √ λ −C1 sin √ λl + C2 cos √ λl = 0.
881.齐次方程的分离变数法 15/70回 其有意义的解只能在如下情况下去得 C2=0 C1≠0, sin val=0 所以,本征值和本报征函数分别为 n〓 2 X(x)=Ci cosx 合并A=0和A>0两种情况后,本征值和本报征函数分别为 n=0,1,2, 2 (8.1-26 n X(r)=C1cosx n=0,1,2,· (8.1-27) 可见,本征值问题(8.1-24和(8123的本征函数(81-27)正好是 Fourier 余弦基本函数系 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 15/70 Ùk¿Â)U3Xe¹e ( C2 = 0, C1 , 0, sin √ λl = 0. ¤±§ Ú ¼ê©O λ = n 2π 2 l 2 , n = 1, 2, · · · , X(x) = C1 cos nπ l x, n = 1, 2, · · · . ✇ Ü¿ λ = 0 Ú λ > 0 ü«¹§ Ú ¼ê©O λ = n 2π 2 l 2 , n = 0, 1, 2, · · · , (8.1-26) X(x) = C1 cos nπ l x, n = 0, 1, 2, · · · . (8.1-27) § ¯K(8.1-24)Ú(8.1-23) ¼ê(8.1-27)д Fourier {uÄ ¼êX©