山东理工大学：《数学分析》课程授课教案（讲义）第十章 定积分的应用

《数学分析(1,2,3)》教案 第十章定积分的应用 §1平面图形的面积 如果一块图形是由连续曲线y=f(x),y=f1(x)以及x=a,x=b(a<b)所围成,那么这块图形 的面积的计算公式为 S=(x)-Jgx)=0(x)-g(x)。 例:求y=x2,x=y2所围的面积S 例:求y=sinx+1,y=cosx在D,2x]上所围图形的面积。 若所给的曲线方程为参数形式:x=x() (a≤t≤B),其中y()是连续函数,x()是连续可微 Nt 函数,且x(1)20且x(a)=a,x(B)=b,那么由 ∫x=x) x轴及直线x=a,x=b所围图形的面积S y=y(1) 的公式为 S=lyldx(t)(a<B)o 例 求旋轮线:x=a-sin) (a>0)一个拱与x轴所围的图形的面积 y=a(I-cost) 例:求椭圆 (a>0,b>0)的面积S sin t 设曲线的极坐标方程是:r=r(0),a≤b≤B,r(0)∈CIa,,则由曲线r=r(0),射线b=a及 =B所围的扇形面积S等于 S 2 例:求双纽线r2=2a2cos2所围图形面积S。 例:求由r=sin2,0≤b≤2n,所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S §2曲线的弧长 1、先建立曲线的长度(弧长)的概念 条线段的长度可直接度量,但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量,因此需用不同的方法来求

《数学分析（1，2，3）》教案 8-1 第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积 如果一块图形是由连续曲线 y f x = 1 ( ) ， y f x = 2 ( ) 以及 x a = ， x b a b =  ( )) 所围成，那么这块图形 的面积的计算公式为 ( ) ( ) [ ( ) ( )] b b b a a a S f x dx g x dx f x g x dx = − = −    。 例：求 2 y x = ， 2 x y = 所围的面积 S 。 例：求 y x = + sin 1， y x = cos 在 [0,2 ]  上所围图形的面积。 若所给的曲线方程为参数形式： ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ），其中 y t( ) 是连续函数， x t( ) 是连续可微 函数，且 x t ( ) 0  且 x a ( )  = ， x b ( )  = ，那么由 ( ) ( ) x x t y y t  =   = ， x 轴及直线 x a x b = = , 所围图形的面积 S 的公式为 S y dx t | | ( )   =  （    ）。 例：求旋轮线： ( ) ( sin ) 0 (1 cos ) x a t t a y a t  = −    = − 一个拱与 x 轴所围的图形的面积。 例：求椭圆 cos sin x a t y b t  =   = （ a  0，b  0 ）的面积 S 。 设曲线的极坐标方程是： r r = ( )  ，     ， r C ( ) [ , ]     ，则由曲线 r r = ( )  ，射线  = 及   = 所围的扇形面积 S 等于 1 2 ( ) 2 S r d   =    。 例：求双纽线 2 2 r a = 2 cos 2 所围图形面积 S 。 例：求由 2 sin 3 r  = ， 0 2     ，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积 S 。 §2 曲线的弧长 1、先建立曲线的长度（弧长）的概念 一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求

《数学分析(1,2,3)》教案 设平面曲线l由参数方程 ∫x=x() y=1)(a≤t≤B)给出,设P={o,4…,n}是[a,B]的一个划分 [6=a,Ln=B],即a=b0<1<…<Ln=B,它们在曲线/上所对应的点为M0=(x(t),y(0), M1=(x(1),y(4),…,Mn=(x(Ln)υ(n)。从端点M。开始用线段一次连接这些分点M,M1,…,M 得到曲线的一条内接折线,用M1M1来表示M/-1M的长度,则内接折线总长度为 s=∑M1M1=∑√x)-x0)2+0v()-y( 曲线/的弧长s定义为内接折线的总长在=max△1→>0时的极限: s=im∑MAM=lm∑(x()-=x(12)+0()-y( 如果s存在且为有限,则称l为可求长曲线。 弧长公式 设曲线l: x=x(1) y=y()(a≤t≤B,且x(),y(t)在a,B上可微且导数x(),y()在a,B上 可积,曲线l在[a,B]无自交点,则曲线l的弧长S为: (+y(0=J√+d 1)+y 注:其它形式的弧长公式 (1)设y=y(x)在[a]上可微且导数y(x)可积,则曲线y=y(x)(a≤x≤b)的弧长S为 S=√h4+y(x)dt (2)若曲线极坐标方程r=r(0),a≤b≤B,则当r(6)在[a,B上可微,且r(O)可积时, S 例:求圆周x= Rcost,y= Rsin t,0≤t≤2x的弧长s 例:求抛物线y 0≤x≤1的弧长s。 例3、求椭圆+,=1(b>a>0)的弧长s。 3、弧长的微分 8-2

《数学分析（1，2，3）》教案 8-2 设平面曲线 l 由参数方程 ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ）给出，设 0 1 { , , , } P t t t = n 是[  , ]的一个划分 [ 0 , n t t = =   ] ， 即 0 1 n   =    = t t t ，它们在曲线 l 上所对应的点为 0 0 0 M x t y t = ( ( ), ( )) ， 1 1 1 M x t y t = ( ( ), ( )) ，…， ( ( ), ( )) M x t y t n n n = 。从端点 M0 开始用线段一次连接这些分点 M0 ，M1 ，…， M n 得到曲线的一条内接折线，用 M Mi i −1 来表示 M Mi i −1 的长度，则内接折线总长度为 2 2 1 1 1 1 1 ' [( ( ) ( )] [( ( ) ( )] n n i i i i i i i i s M M x t x t y t y t − − − = = = = − + −   曲线 l 的弧长 s 定义为内接折线的总长在 max 0 i  = →t 时的极限： 2 2 1 1 1 0 0 1 1 lim lim [( ( ) ( )] [( ( ) ( )] n n i i i i i i i i s M M x t x t y t y t   − − − → → = = = = − + −   如果 s 存在且为有限，则称 l 为可求长曲线。 2、弧长公式 设曲线 l ： ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ），且 xt() ， yt() 在[  , ]上可微且导数 x t () ， y t () 在[  , ]上 可积，曲线 l 在[  , ]无自交点，则曲线 l 的弧长 s 为： 2 2 2 2 S x t y t dt dx dy ( ) ( )     = + = +     注：其它形式的弧长公式 （1）设 y y x = ( ) 在 a b,  上可微且导数 y x ( ) 可积，则曲线 y y x = ( ) （ a x b   ）的弧长 s 为： 1 ( ) b a S y x dx = +   。 （2）若曲线极坐标方程 r r = ( )  ，     ，则当 r( )  在[  , ]上可微，且 r ( )  可积时， 2 2 S r r d   = +    。 例：求圆周 x R t = cos ， y R t = sin ，0 2  t  的弧长 s 。 例：求抛物线 2 y x = ， 0 1  x 的弧长 s 。 例 3、求椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = （ b a   0 ）的弧长 s 。 3、弧长的微分

《数学分析(1,2,3)》教案 设jx=x(D(as15B)是光滑曲线,x(,y(在a,B连续且x()+y2()≠0),且无自 y=y(1) 交点。若把公式中的积分上限B改为t,就得到曲线/,由端点M0到动点M(x()y(1)的一段弧长为 ∫VxO)+y( 由上限函数的可微性知s()存在,d(=.∥女 ds=√ax2+dhy2。 dt) dt §3体积 一般体积公式 设一几何体夹在x=a和x=b(a<x<b)这两个平行平面之间,用垂直于x轴的平面去截此几何体, 设载面与x轴交点为(x,0),可得的截面面积为A(x),如果A(x)是[ab]上的黎曼可积函数,则该几何体 的体积V等于 V= A(x)dx 例:求x2+y2=a2及x2+2=a2的体积V。 例:求由椭球面+12+=1所围的几何体体积(ab,c>0)。 二旋转体的体积 设y=f(x),f(x)20是一条连续曲线,曲线y=f(x),a≤x≤b绕x轴产生旋转体的截面积为A(x) (x),则 V= A(x)dx=ydx 例:求抛物线y=x2,0≤x≤1分别绕x轴和y轴所产生的旋转体体积。 s4旋转曲面的面积 设y=f(x)在[ab]上非负,且连续可微,该曲线绕x轴旋转后所得的旋转面的侧面积为 F=2∫y+y

《数学分析（1，2，3）》教案 8-3 设 l ： ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ）是光滑曲线，x t () ，y t () 在[  , ]连续且 2 x t  ( ) ＋ 2 y t  ( ) 0  ），且无自 交点。若把公式中的积分上限  改为 t ，就得到曲线 l ，由端点 M0 到动点 M x t y t ( ( ), ( )) 的一段弧长为 2 2 ( ) ( ) t s x t y t dt  = +    由上限函数的可微性知 s t '( ) 存在， 2 2 2 2 ds t dx dy ( ) ds dx dy dt dt dt     = +  = +         。 §3 体积 一 一般体积公式 设一几何体夹在 x a = 和 x b = （ a x b   ）这两个平行平面之间，用垂直于 x 轴的平面去截此几何体， 设载面与 x 轴交点为 ( x,0) ，可得的截面面积为 A x( ) ，如果 A x( ) 是 a b,  上的黎曼可积函数，则该几何体 的体积 V 等于 ( ) b a V A x dx =  。 例：求 2 2 2 x y a + = 及 2 2 2 x z a + = 的体积 V 。 例：求由椭球面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 所围的几何体体积 (abc , , 0  )。 二 旋转体的体积 设 y f x = ( ) ，f x( )  0 是一条连续曲线，曲线 y f x = ( ) ，a x b   绕 x 轴产生旋转体的截面积为 A x( ) ＝ 2  y x( ) ，则 V ＝ 2 ( ) b b a a A x dx y dx =    例：求抛物线 2 y x = ， 0 1  x 分别绕 x 轴和 y 轴所产生的旋转体体积。 §4 旋转曲面的面积 设 y f x = ( ) 在 a b,  上非负，且连续可微，该曲线绕 x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积为 2 2 1 b a F y y dx = +   

《数学分析(1,2,3)》教案 例:求半径为r的球面面积F 例:某反光镜可近似地看成介于x=0与x=米之间的抛物线y2=8x绕x轴旋转所成的旋转抛物面。求此 反光镜镜面的面积 §5质心 重心在计算不少实际问题中遇到,例如造船时就要考虑怎样来设计才使船的重心低一些。设在平面上有 n个质点,质点坐标为M(x1,y),原量分别为m2,则该重心为(xC,y),有以下公式: ∑ m; x 定义:均匀物体的重心也叫做形心 下面将此概念加以推广,来计算一般平面曲线(弧)的原心 设曲线l方程为 ∫x=x) y=m1)(a≤t≤B,x(t),y()存在且x2(t)+y2(t)≠0,则曲线l的重心坐标 (xc,yc)有近似公式 记A=max{△s12As2,…,Asn},则λ→>0时,得 x y ds 具体地,如果曲线方程段为y=f(x),(a≤x≤b),f(x)在[a连续,则此曲线段的质心坐标为 xds「x√+y2dx d 其中s=√+y2为曲线段的弧长如果密度不是常数,而是x的连续函数p=px),(a≤x≤b) 那么完全类似地可得曲线段质心坐标为 xp(x)ds yp(x)ds p(x)ds

《数学分析（1，2，3）》教案 8-4 例：求半径为 r 的球面面积 F 。 例：某反光镜可近似地看成介于 x = 0 与 1 4 x = 米之间的抛物线 2 y x = 8 绕 x 轴旋转所成的旋转抛物面。求此 反光镜镜面的面积。 §5 质心 重心在计算不少实际问题中遇到，例如造船时就要考虑怎样来设计才使船的重心低一些。设在平面上有 n 个质点，质点坐标为 ( , ) M x y i i i ，原量分别为 mi ，则该重心为（ , C C x y ），有以下公式： 1 1 n i i i C n i i m x x m = = =   ， 1 1 n i i i C n i i m y y m = = =   。 定义：均匀物体的重心也叫做形心。 下面将此概念加以推广，来计算一般平面曲线（弧）的原心： 设曲线 l 方程为 ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ）， x t () ， y t () 存在且 2 2 x t y t   ( ) ( ) 0 +  ，则曲线 l 的重心坐标 （ , C C x y ）有近似公式： 1 1 n i i i C n i i s x s    = =  =    ， 1 1 n i i i C n i i s y s    = =  =    。 记 max{ , , , } 1 2 n  =    s s s ，则  →0 时，得 l l xds x ds =   ， l l yds y ds =   。 具体地，如果曲线方程段为 y f x = ( ) ，（ a x b   ）， f x ( ) 在 a b,  连续，则此曲线段的质心坐标为 2 1 b l a xds x y dx x s s +  = =   ， 2 1 b l a yds y y dx y s s +  = =   。 其中 2 1 b a s y dx = +   为曲线段的弧长。如果密度不是常数，而是 x 的连续函数   = ( ) x ，（ a x b   ） 那么完全类似地可得曲线段质心坐标为： ( ) ( ) l l l x x ds xdm x x ds m   = =    ， ( ) ( ) l l l y x ds ydm y x ds m   = =   

《数学分析(1,2,3)》教案 其中dm=p(x)ds,m=[p(x)ds为曲线段的质量 例:求以r为半径的半圆弧的形心。 例:轴长10米,密度分布为p(x)=(6+03x)千克米,其中x为距轴的一个端点的距离,求轴之质量。 §6平均值、功 平均值 设f(x)在闭区间[ab]连续,把区间n等分,分点为 x=b 每一个分点x上的函数值是y(=12…,m),分点间的距离时Ab-a ,则y的算术平均值为 y+y2+…+y (y1+y2+…+y)Ax 令△x→0,则得f(x)在上的平均值为 ∫(x) 例:求f(x)=simx在0,上的平均值 2 例:求交流电的平均功率。 二功 设物体在力(x)的作用下从A点运动到B点,则f(x)在b]上所作的功为F=∫() 例:求力f(x)=3x从0运动到10所作的功。 例:半径为r的球沉入水中,它与水面相接,球的比重为1,现将球从水中取出,要作多少功? §7定积分的近似计算 设∫(x)在区间[a,6]上连续,将区间分成2n个相等的区间,分点为 a=x0<x1<…<x,n=b, 令y=f(x),则 Simpson公式为 f(1r%+(++…+y2m2)+4(y1+y3+…+y2n-)」

《数学分析（1，2，3）》教案 8-5 其中 dm x ds = ( ) ， ( ) b a m x ds =   为曲线段的质量。 例：求以 r 为半径的半圆弧的形心。 例：轴长 10 米，密度分布为  ( x x ) = + (6 0.3 ) 千克/米，其中 x 为距轴的一个端点的距离，求轴之质量。 §6 平均值、功 一 平均值 设 f (x) 在闭区间 a, b 连续，把区间 n 等分，分点为 0 1 n a x x x b =    = 每一个分点 i x 上的函数值是 i y (i n =1, 2, , ) ，分点间的距离时 b a x n −  = ，则 i y 的算术平均值为 ( ) 1 2 1 2 n 1 n y y y y y y x n b a + + + = + + +  − 令  →x 0，则得 f (x) 在 a, b 上的平均值为 ( ) 1 b a y f x dx b a − = −  。 例：求 f (x) = sin x 在       2 0,  上的平均值。 例：求交流电的平均功率。 二 功 设物体在力 f (x) 的作用下从 A 点运动到 B 点，则 f (x) 在 a, b 上所作的功为 W f (x)dx b  a = 。 例：求力 f (x) = 3x 从 0 运动到 10 所作的功。 例：半径为 r 的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为 1 ，现将球从水中取出，要作多少功？ §7 定积分的近似计算 设 f x( ) 在区间 a b,  上连续，将区间分成 2n 个相等的区间，分点为 0 1 2n a x x x b =    = ， 令 y f x i i = ( ) ，则 Simpson 公式为 ( ) 0 2 2 4 2 2 1 3 2 1 2 4 ( ) ( ) 6 b n n n a b a f x dx y y y y y y y y n − − −  + + + + + + + + +     