《数学分析(1,2,3)》教案 第九章数项级数 §1预备知识:上极限和下极限 对于一个有界数列{an},去掉他的最初k项以后,剩下来的依旧是一个有界数列,记 B=sup{a12ak2…} ak+, ak 显然,数列{}是单调减少的,{a}是单调增加的,所以这两个数列的极限存在。称{B}的极 限是{an}的上极限,设它为H。称{a}的极限是{an}的下极限,设它为h。记为 H=lim h=lim a 显然:h≤H 定理1设 Im a 则(i)当H为有限时,对于H的任何E邻域(H-E,H+E),在数列{an}中有无穷多个项属于 这个邻域,而在(H+E,+∞)只有有限多个项。 (i)当H=+∞时,对任何数N>0,在{an}中波有无穷多项大于N。 (ⅲ)当H=-∞时,数列{an}以-为极限。 定理2设 h=lim a 则(i)当h为有限时,对于H的任何E邻域(h-E,h+E),在数列{an}中有无穷多个项属于这个 邻域,而在(一0,h-)只有有限多个项。 (i)当h=-时,对任何数N>0,在{an}中波有无穷多项小于-N。 (ⅲ)当h=+∞时,数列{an}以+为极限 定理3设H为{an}的上极限,那么,H必是{a}中所有收敛子列的极限中的最大值。设h为 an}的下极限,那么,h必是{an}中所有收敛子列的极限中的最小值。 9-1
《数学分析（1，2，3）》教案 9-1 第九章 数 项 级 数 §1 预备知识：上极限和下极限 对于一个有界数列 an ，去掉他的最初 k 项以后，剩下来的依旧是一个有界数列，记 1 2 1 2 sup , , , inf , , . k k k k k k a a a a + + + + = = 显然，数列 k 是单调减少的， k 是单调增加的，所以这两个数列的极限存在。称 k 的极 限是 an 的上极限，设它为 H 。称 k 的极限是 an 的下极限，设它为 h 。记为 lim , lim . n n n n H a H a − → − → = = 显然： h H 。 定理 1 设 lim n n H a − → = 则（i）当 H 为有限时，对于 H 的任何 邻域 (H H − + , ) ，在数列 an 中有无穷多个项属于 这个邻域，而在 (H + + , ) 只有有限多个项。 （ii）当 H = + 时，对任何数 N 0 ，在 an 中波有无穷多项大于 N 。 （iii）当 H = − 时，数列 an 以 − 为极限。 定理 2 设 lim n n h a −− → = 则（i）当 h 为有限时，对于 H 的任何 邻域 (h h − + , ) ，在数列 an 中有无穷多个项属于这个 邻域，而在 (− − , h ) 只有有限多个项。 （ii）当 h = − 时，对任何数 N 0 ，在 an 中波有无穷多项小于−N 。 （iii）当 h = + 时，数列 an 以 + 为极限。 定理 3 设 H 为 an 的上极限，那么， H 必是 an 中所有收敛子列的极限中的最大值。设 h 为 an 的下极限，那么， h 必是 an 中所有收敛子列的极限中的最小值
《数学分析(1,2,3)》教案 推论1 lim a=A的充分必要条件为 lim a =lim a = a 例:设an=n+(-1)",求它的上下极限。 例:设an=cos",求它的上下极限。 §2级数的收敛性及其基本性质 级数概念 在初等数学中,我们知道:任意有限个实数a4,2…,ln相加,其结果仍是一个实数,在本章将讨论一 一无限多个实数相加一一级数一一所可能出现的情形及特征。如 111 +-+-+…+一+ 从直观上可知,其和为1。 2222 又如,1+(-1)+1+(-1)+…。 其和无意义 若将其改写为:(1-1)+(1-1)+(1-1)+… 则其和为:0: 若写为: 1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+ 则和为:1。(其结果完全不同) 问题:无限多个实数相加是否存在和 如果存在,和等于什么 定义1给定一个数列{an},将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 l1+l2+l2 (1) 称为数项级数或无穷级数(简称级数),其中un称为级数(1)的通项。级数记为:∑Un 级数的收敛性 记Sn=∑4=l1+2+…+un,称之为级数∑un的前n项部分和,简称部分和。 定义2若数项级数∑n的部分和数列{Sn}收敛于S(即mSn=S,则称数项级数∑n收敛,记作 ln=l1+12+a2+……+l 9-2
《数学分析（1，2，3）》教案 9-2 推论 1 lim n n a A → = 的充分必要条件为 lim lim n n n n a a A − −− → → = = 。 例：设 ( 1) n n a n = + − ，求它的上下极限。 例：设 cos 4 n n a = ，求它的上下极限。 §2 级数的收敛性及其基本性质 一 级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数 u u un , , , 1 2 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论— —无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 + + ++ n + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 从直观上可知，其和为 1。 又如， 1+ (−1) +1+ (−1) +。 其和无意义； 若将其改写为： (1−1) + (1−1) + (1−1) + 则其和为：0； 若写为： 1+[(−1) +1] +[(−1) +1] + 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义 1 给定一个数列 un ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 u1 + u2 + u3 ++ un + （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中 n u 称为级数（1）的通项。级数记为： n=1 n u 。 二 级数的收敛性 记 n n k Sn = uk = u + u + + u = 1 2 1 ，称之为级数 n=1 n u 的前 n 项部分和，简称部分和。 定义 2 若数项级数 n=1 n u 的部分和数列 Sn 收敛于 S （即 Sn S n = → lim ），则称数项级数 n=1 n u 收敛 ，记作 S = n=1 n u = u1 + u2 + u3 ++ un +
《数学分析(1,2,3)》教案 若部分和数列Sn}发散,则称数项级数∑un发散。当级数收敛时,又称 =S-S=> k=n+1 为级数的余和 注:无穷级数的收敛问题,实质上是部分和数列的收敛问题 例:试讨论等比级数(几何级数) a+ag t a≠ 的收敛性。 例:讨论级数 1·22·33.4 n(n+1) 的收敛性 收敛级数的性质 性质1若级数∑un都有收敛,则对任意常数a,级数∑an也收敛,且 au =a uln 性质2若级数∑un与∑vn都有收敛,则级数∑(un+vn)也收敛,且 即对于收敛级数来说,交换律和结合律成立 性质3在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和。 注意:从级数加括号后的收敛,不能推断加括号前的级数也收敛(即去括号法则不成立)。 如:(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…=0+0+…+0+ 收敛,而级数 是发散的 性质4(收敛的必要条件)若级数∑un收敛,则→0(n→∞)。 注:1→0(m→∞)只是级数∑un收敛的必要条件,不是充分条件
《数学分析（1，2，3）》教案 9-3 若部分和数列 Sn 发散，则称数项级数 n=1 n u 发散。当级数收敛时，又称 1 n n k k n r S S u = + = − = 为级数的余和。 注：无穷级数的收敛问题，实质上是部分和数列的收敛问题。 例: 试讨论等比级数（几何级数） = − − = + + + + + 1 1 2 1 n n n aq a aq aq aq ，(a 0) 的收敛性。 例:讨论级数 + + + + + + ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 n n 的收敛性。 三 收敛级数的性质 性质 1 若级数 n=1 n u 都有收敛，则对任意常数 a ，级数 1 n n au = 也收敛，且 1 n n au = 1 n n a u = = 。 性质 2 若级数 n=1 n u 与 n=1 n v 都有收敛，则级数 1 ( ) n n n u v = + 也收敛，且 1 ( ) n n n u v = + 1 1 n n n n u v = = = + 。 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。 性质 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如： (1−1) + (1−1) ++ (1−1) + = 0+ 0++ 0+ 收敛，而级数 1−1+1−1+ 是发散的。 性质 4 （收敛的必要条件）若级数 n=1 n u 收敛，则 u n n → → 0( ) 。 注： u n n → → 0( ) 只是级数 n=1 n u 收敛的必要条件，不是充分条件
《数学分析(1,2,3)》教案 例:级数∑发散,但→0 敛散性是由它的部分和数列S}来确定的,因而也可以认为数项级数∑n是数列Sn}的另一表现形 式。反之,对于任意的数列{an},总可视其为数项级数 ∑un=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a 的部分和数列,此时数列{an}与级数a1+(a2-a1)+(a23-a2)+…+(an-an)+…有 相同的敛散性,因此,有 定理1(Cacy收敛原理)级数∑un收敛的充要条件是:任给正数E,总存在正整数N,使得当n>N以 及对任意的正整数p,都有 注:级数∑un发散的充要条件是:存在某个E0>0,对任何正整数N,总存在正整数m(>N,P,有 +lln+…+ 例:利用收敛原理来判断级数∑的收敛性。 例:利用收敛原理来判断调和级数∑的收敛性 3正项级数 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同,则称为同号级数。而对于同号级数,只须研究各项都由非负项数组成的级数 正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号,而这并不影响其收敛性 基本定理正项级数∑Un收敛台部分和数列Sn}有上界 正项级数的比较判别法 定理1设∑n和∑n均为正项级数,如果存在某个正数N,使得对n>N都有
《数学分析（1，2，3）》教案 9-4 例：级数 1 1 n n = 发散，但 1 0 n → 。 敛散性是由它的部分和数列 Sn 来确定的，因而也可以认为数项级数 n=1 n u 是数列 Sn 的另一表现形 式。反之，对于任意的数列 an ，总可视其为数项级数 n=1 n u = a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 的部分和数列，此时数列 an 与级数 a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 有 相同的敛散性，因此，有 定理 1（Cauchy 收敛原理） 级数 n=1 n u 收敛的充要条件是：任给正数 ，总存在正整数 N ，使得当 n N 以 及对任意的正整数 p ，都有 1 2 n n n p u u u + + + + + + 。 注：级数 n=1 n u 发散的充要条件是：存在某个 0 0 ，对任何正整数 N，总存在正整数 0 0 m ( N), p ，有 0 1 0 2 0 0 0 + + + um + um + um + p 。 例：利用收敛原理来判断级数 2 1 1 n n = 的收敛性。 例：利用收敛原理来判断调和级数 1 1 n n = 的收敛性。 §3 正 项 级 数 一 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由非负项数组成的级数 ——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。 基本定理 正项级数 n=1 n u 收敛 部分和数列 Sn 有上界。 正项级数的比较判别法 定理 1 设 n=1 n u 和 n=1 n v 均为正项级数，如果存在某个正数 N，使得对 n N 都有
《数学分析(1,2,3)》教案 那么(1)若级数∑n收敛,则级数∑un也收敛 (2)若级数∑n发散,则级数∑vn也发散 例:考察 的收敛性 推论(比较判别法的极限形式)设un和∑vn是两个正项级数,若 l lim -n=l, 则(1)当0<1<+∞时,级数∑un、∑v同时收敛或同时发散: (2)当=0且级数∑n收敛时,级数∑n也收敛: (3)当l=+∞且∑v发散时,级数∑n也发散。 例:讨论级数∑ 的收敛性 例:讨论级数∑sin的收敛性 柯西判别法 定理2设∑un为正项级数,且存在某个正整数N及正常数l, (1)若对n>N,有Vns1<1,则级数∑un收敛 (2)若对>N,有n21,则级数∑un发散。 推论(柯西判别法的极限形式)设∑un为正项级数,且 lim/u 则(1)当r<1时,级数∑n收敛 (2)当r>1(可为+∞)时,级数∑un发散 9-5
《数学分析（1，2，3）》教案 9-5 n n u cv ， 那么（1）若级数 n=1 n v 收敛，则级数 n=1 n u 也收敛； （2）若级数 n=1 n u 发散，则级数 n=1 n v 也发散。 例: 考察 2 1 1 n n n 1 = + + 的收敛性。 推论（比较判别法的极限形式） 设 n=1 n u 和 n=1 n v 是两个正项级数，若 l v u n n n = → lim ， 则 （1） 当 0 l + 时，级数 n=1 n u 、 n=1 n v 同时收敛或同时发散； （2）当 l = 0 且级数 n=1 n v 收敛时，级数 n=1 n u 也收敛； （3）当 l = + 且 n=1 n v 发散时，级数 n=1 n u 也发散。 例: 讨论级数 1 2 n + n 的收敛性。 例: 讨论级数 n 1 sin 的收敛性。 柯西判别法 定理 2 设 un 为正项级数，且存在某个正整数 N 及正常数 l ， （1）若对 n N ，有 n un l 1 ，则级数 un 收敛； （2）若对 n N ，有 n un 1 ，则级数 un 发散。 推论（柯西判别法的极限形式）设 un 为正项级数，且 lim n n n u r −− → = ， 则 （1）当 r 1 时，级数 un 收敛； （2）当 r 1 （可为 + ）时，级数 un 发散；