山东理工大学：《数学分析》课程授课教案（讲义）第十二章 富里埃级数

《数学分析(1,2,3)》教案 第十二章富里埃级数 §1富里埃级数 富里埃( Fourier)级数的引进 定义:设∫(x)是(-∞,+∞)上以2x为周期的函数,且f(x)在[-x,x]上绝对可积,称形如 +∑( a cos nx+ b sin nx) 的函数项级数为f(x)的 Fourier级数(f(x)的 Fourier展开式),其中 42=(,4=(n=12,b=厂 f(r)sin ndx, n 称为f(x)的 Fourier系数,记为f(x)~0+∑( a cos nx+ b sin nx) 说明 1)在未讨论收敛性,证明5+∑( a,cosnx+ b. sin nx)-致收敛到f(x)之前,不能将“”改为“= 此处“~”也不包含“等价”之意,而仅仅表示①+∑( a cos nx+ b sin nx)是f(x)的 Fourie级数,或者 说f(x)的 Fourier级数是“+∑( (an, cos nx+b2sinx).2)要求r]上f(x)的Foic级数,只须求 出 Fourier系数 二富里埃级数收敛性的判别 1. Riemann(黎曼)引理设f(x)在(有界或无界)区间[a]上绝对可积,则 f(x) cos pxdx→>0 f(x) sin pxdx→0(p→∞) 推论在[0,门]上绝对可积函数∫(x)的 Fourier系数 (x)cos 2 nt xdx→0.(n→∞) :b=(x)sm7x→0(m→) 2. Fourier级数收敛的充要条件 定理1 limt(x)=s分VE>0,36=6(E)∈(0,x]和N=N(E),使得当n≥N(E)时成立 12-1

《数学分析（1，2，3）》教案 12-1 第十二章 富里埃级数 §1 富里埃级数 一 富里埃（Fourier）级数的引进 1 定义：设 f x( ) 是 ( , ) − + 上以 2 为周期的函数，且 f x( ) 在 [ , ] −  上绝对可积，称形如 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  的函数项级数为 f x( ) 的 Fourier 级数( f x( ) 的 Fourier 展开式)，其中 0 1 a f x dx ( )   − =  ， 1 ( )cos , 1,2, n a f x nxdx n   − = =  ， 1 ( )sin , 1,2, n b f x nxdx n   − = =  称为 f x( ) 的 Fourier 系数，记为 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx  = + +  2 说明 1）在未讨论收敛性，证明 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  一致收敛到 f x( ) 之前，不能将“~”改为“=”； 此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  是 f x( ) 的 Fourier 级数，或者 说 f x( ) 的 Fourier 级数是 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  。2) 要求 [ , ] −  上 f x( ) 的 Fourier 级数，只须求 出 Fourier 系数。 二 富里埃级数收敛性的判别 1. Riemann（黎曼）引理 设 f x( ) 在（有界或无界）区间 a b,  上绝对可积，则 ( )cos 0 b a f x pxdx → ， ( )sin 0 b a f x pxdx → ( ) p →  . 推论 在 [0, ] T 上绝对可积函数 f x( ) 的 Fourier 系数 0 2 2 ( )cos 0,( ) T n n a f x xdx n T T  = → →   ； 0 2 2 ( )sin 0,( ) T n n b f x xdx n T T  = → →   2. Fourier 级数收敛的充要条件 定理 1 lim ( ) 0, ( ) (0, ] n n T x s      → =     =  和 N N = ( )  , 使得当 n N  ( )  时成立

《数学分析(1,2,3)》教案 sin(n +-)u p(u)du <8, 其中p(an)=f(x+u)+f(x-l)-26 3. Fourier级数收敛的Dini判别法 推论:设f(x)在[0,2z]上除去有限点外存在有界导数则f(x)的 Fourier级数点点收敛,且 a+∑(anc0smx+b5m=2((x+)+f(x),x∈(0.2z) (f(+0)+f(2x-),x=0或2丌 特别地,x∈(0.2)是f(x)的连续点时,((x+)+f(x-)=f(x),即 f(x)=0+>(a, cos nx+b, sin nx) 1,0≤x≤丌 例:设f(x)是以2为周期的函数,其在z刀]上可表示为f(x)=10.-<x<0 ,判定f(x)的 Fourier级 数的收敛性 例:设f(x)是以2x为周期的函数,其在[0,2n)上等于x,判定f(x)的 Fourier级数的收敛性 例:f(x)=e",(-r≤x<)(a≠0) 4. Jordan判别法 设f(x)在[0,2x]上单调(或有界变差),则 (f(x+)+f(x-),x∈(0,2) +∑( a cos x+ b sin nx)= (f(+0)+f(2x-),x=0或 1,0≤x≤丌 例:设f(x)是以2x为周期的函数,其在[-x,丌]上可表示为f(x)= 求∫(x)的 Fourier 0,-x<x<0 展开式 计算f(x)的 Fourier系数的积分也可以沿别的长度为2x的区间来积如 f∫(x)dx f(x)cos ndx n=1.2 b f(x)sin ndx, n=1, 2 例:设f(x)是以2z为周期的函数其在[0,2x)上等于x,求f(x)的 Fourier级数 12-2

《数学分析（1，2，3）》教案 12-2 0 1 sin( ) 2 ( ) , n u u du u    +   其中   ( ) ( ) ( ) 2 u f x u f x u = + + − − . 3. Fourier 级数收敛的 Dini 判别法 推论: 设 f x( ) 在 [0, 2 ]  上除去有限点外存在有界导数,则 f x( ) 的 Fourier 级数点点收敛,且 0 0 1 ( ( ) ( )), (0,2 ) 2 ( cos sin ) 2 1 ( ( 0) (2 )), 0 2 2 n n n f x f x x a a nx b nx f f x     =  + + −   + + =   + + − =   或 特别地, x  (0,2 )  是 f x( ) 的连续点时, 1 ( ( ) ( )) ( ) 2 f x f x f x + + − = ,即 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx  = = + +  例: 设 f x( ) 是以 2 为周期的函数，其在 [ , ] −  上可表示为 1,0 ( ) 0, 0 x f x x      =   −   ,判定 f x( ) 的 Fourier 级 数的收敛性. 例：设 f x( ) 是以 2 为周期的函数,其在 [0, 2 )  上等于 x ,判定 f x( ) 的 Fourier 级数的收敛性 例： ( ) , ax f x e = ( ) −     x ( 0) a  4. Jordan 判别法 设 f x( ) 在 [0, 2 ]  上单调(或有界变差)，则 0 0 1 ( ( ) ( )), (0,2 ) 2 ( cos sin ) 2 1 ( ( 0) (2 )), 0 2 2 n n n f x f x x a a nx b nx f f x     =  + + −   + + =   + + − =   或 。 例：设 f x( ) 是以 2 为周期的函数，其在 [ , ] −  上可表示为 1,0 ( ) 0, 0 x f x x      =   −   ,求 f x( ) 的 Fourier 展开式。 计算 f x( ) 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为 2 的区间来积.如 2 0 0 1 a f x dx ( )   =  ， 2 0 1 ( )cos , 1,2, n a f x nxdx n   = =  ， 2 0 1 ( )sin , 1,2, n b f x nxdx n   = =  例： 设 f x( ) 是以 2 为周期的函数,其在 [0, 2 )  上等于 x ,求 f x( ) 的 Fourier 级数

《数学分析(1,2,3)》教案 如果f(x)仅定义在长为2丌的区间上例如定义在[0,2丌)上,此时f(x)不是周期函数,从而不能按上述 方法展开为 Fourier级数但可对f(x)在[0,2x)外补充定义,使其以2x为周期,如定义 ∫(x)=f(x-2nx),x∈(2n,2(n+1)z) 它有下述性质a)x∈[0,2)时,f(x)=f(x);b)f(x)以2x为周期 例:f(x)=e2,(-m≤x<r) 三正弦级数和余弦级数 1定义 形如∑ b sin nx的三角级数(函数项级数称为正弦级数形如+∑ a cos nx的三角级数(函数项级数 称为余弦级数 2如果f(x)是以2丌为周期的函数,在[-丌,x]上绝对可积,若∫(x)是奇函数,则有 f(x)~∑ b sin nx:若f(x)是偶函数则有f(x)0o+∑ a cos nx 3设∫(x)仅在[0,x]上有定义,如果按奇函数的要求补充定义f(x)=-f(-x),x∈[-x,0),然后再作 2丌周期延拓,必得奇函数,所得 Fourier级数必为正弦级数对应地,补充定义f(x)=f(-x),x∈[-丌,0)后 再作2丌周期延拓,必得偶函数,所得 Fourier级数必为余弦级数。 1.0≤x<h 例:f(x)= 0h≤x<z (0<h<丌,将∫(x)展开成余弦函数 例:将f(x)=x在[O,z]上展开为余弦级数 四一般周期函数的 Fourier级数 设∫(x)是周期为T的函数且在[0,刀上绝对可积,则有 ()01+002x+bsm2x 其中 f(x)dx, a,= 2 f(x)cos--xdx, n=1, 2, .., b f∫(x)sin 2n xdx, n=1,2 例:求f(x)=1x,-1≤x≤1的 Fourier展开式 五 Fourier级数的复数表示形式 12-3

《数学分析（1，2，3）》教案 12-3 如果 f x( ) 仅定义在长为 2 的区间上,例如定义在 [0, 2 )  上, 此时 f x( ) 不是周期函数, 从而不能按上述 方法展开为 Fourier 级数.但可对 f x( ) 在 [0, 2 )  外补充定义,使其以 2 为周期, 如定义 ~ f x f x n ( ) ( 2 ) = −  , x n n  + (2 ,2( 1) )   它有下述性质: a) x [0,2 )  时, ~ f x f x ( ) ( ) = ； b) ~ f x( ) 以 2 为周期. 例 : ( ) ,( ) x f x e x = −     三 正弦级数和余弦级数 1 定义 形如 1 sin n n b nx  =  的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如 0 1 cos 2 n n a a nx  = + 的三角级数(函数项级数 称为余弦级数. 2 如 果 f x( ) 是 以 2 为周期的函数 , 在 [ , ] −  上绝对可积 , 若 f x( ) 是奇函数 , 则 有 1 ( ) ~ sin n n f x b nx  =  ；若 f x( ) 是偶函数,则有 0 1 ( ) ~ cos 2 n n a f x a nx  = + . 3 设 f x( ) 仅在 [0, ]  上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义 f x f x x ( ) ( ), [ ,0) = − −  − ,然后再作 2 周期延拓,必得奇函数, 所得 Fourier 级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义 f x f x x ( ) ( ), [ ,0) = −  − 后, 再作 2 周期延拓,必得偶函数, 所得 Fourier 级数必为余弦级数。 例: 1,0 ( ) 0, x h f x h x     =     (0   h  ),将 f x( ) 展开成余弦函数。 例：将 f x x ( ) = 在 0,  上展开为余弦级数。 四 一般周期函数的 Fourier 级数 设 f x( ) 是周期为 T 的函数,且在 [0, ] T 上绝对可积, 则有 0 1 2 2 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a n n f x a x b x T T    = + +  , 其中 0 0 2 ( ) T a f x dx T =  ， 0 2 2 ( )cos , 1,2, T n n a f x xdx n T T  = =  ， 0 2 2 ( )sin , 1,2, T n n b f x xdx n T T  = =  例: 求 f x x x ( ) , 1 1 = −   的 Fourier 展开式. 五 Fourier 级数的复数表示形式

《数学分析(1,2,3)》教案 设f(x)~+∑( (a cos nx+ b sin nx),则其复数表示形式为 f(x)~∑Cn 其中,复的 Fourier系数C=a-ib ∫n(x)-max=C §2富里埃变换 富里埃变换的概念 设∫(x)在(-0,+∞)内绝对可积 定义1称∫(x)-m是f(x)的富里埃变换,并把它记为F()或f(o)。即 ()=f(o)=(x)md 富里埃变换的性质 (i)f()是O∈(-∞,+∞)内的连续函数: (ii) lim f 定义2称 ∫(a)ax是∫(a)的富里埃逆变换。又称 f(x)= f(xJeiodxelodo 是f(x)的富里埃变换积分公式 例:求衰减函数f(x) 的富里埃变换 0.x≤0 例:求函数∫(x)= 的富里埃变换和富里埃变换积分公式。 二富里埃变换的一些性质 富里埃变换有一些简单的性质,这些性质在偏微分方程和概率论等课程中有着很重要的应用。 性质1(线性)F(af+a12)=aF(f)+a2F(2),其中a1a2是两个任意给定的常数 性质2(平移)对任何f(x),设rf(x)=f(x-s),那么F(rO)=eF() 12-4

《数学分析（1，2，3）》教案 12-4 设 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx  = + +  , 则其复数表示形式为 ( ) ~ inx n f x C e + −  , 其中, 复的 Fourier 系数 2 0 1 ( ) 2 2 n n inx n n a ib C f x e dx C   − − − = = =  . §2 富里埃变换 一 富里埃变换的概念 设 f x( ) 在 (− +  , ) 内绝对可积。 定义 1 称 ( ) i x f x e dx  + − − 是 f x( ) 的富里埃变换，并把它记为 F f ( ) 或 ( ) ^ f  。即 ( ) ( ) ( ) ^ i x F f f f x e dx   + − − = =  。 富里埃变换的性质 （i） ( ) ^ f  是  − +  ( , ) 内的连续函数； （ii） ( ) ^ lim 0 f   → = 。 定义 2 称 ( ) ^ 1 2 i x f e dx    + − 是 ( ) ^ f  的富里埃逆变换。又称 ( ) ( ) 1 2 i x i x f x f x e dx e d     + + − − −   =       是 f x( ) 的富里埃变换积分公式。 例： 求衰减函数 ( ) , 0, 0, 0 ax e x f x x −   =    的富里埃变换。 例： 求函数 ( ) , , 2 0, 2 h x f x x      =     的富里埃变换和富里埃变换积分公式。 二 富里埃变换的一些性质 富里埃变换有一些简单的性质，这些性质在偏微分方程和概率论等课程中有着很重要的应用。 性质 1（线性） F f f F f F f (    1 1 2 2 1 1 2 2 + = + ) ( ) ( ) ，其中 1 2  , 是两个任意给定的常数。 性质 2（平移）对任何 f x( ) ，设  s f x f x s ( ) = − ( ) ，那么 ( ) ( ) i s F f e F f s   − =

《数学分析(1,2,3)》教案 性质3(导数)设f(x)→0(x→),则(dd=1() 性质4F(-y(x)=nF(O 12-5

《数学分析（1，2，3）》教案 12-5 性质 3（导数）设 f x x ( ) → →  0( ) ，则 ( ) d F f i F f dx      =   。 性质 4 ( ( )) ( ) d F ixf x F f d − =