881.齐次方程的分离变数法 6/70圆 同理无意义,A=0也应排除 当A>0时 X(x)=CI cos vir +C2 sin vAr 同理, C1=0, C, sin val= n=1,2,3,… 8.1-10) 此时 n X(r)=C2 sin- C2是任意常数 (8.1-11) 由此可见,分离变量是引入的常数A不能为负或零,也不能取任 意正数,而必须取(81-10)给出的特定值一本征值,相应的解称为本征 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 6/70 Ónÿ§λ = 0 AüØ© ✇ λ > 0 X(x) = C1 cos √ λx + C2 sin √ λx, Ón§( C1 = 0, C2 sin √ λl = 0. √ λl = nπ, λ = n 2π 2 l 2 , n = 1, 2, 3, · · · . (8.1-10) d X(x) = C2 sin nπx l , C2´?¿~ê. (8.1-11) dd§©lCþ´Ú\~ê λ ØUK½"§ØU? ¿ê§ 7L(8.1-10)ÑA½— . . . §A)¡ .
881.齐次方程的分离变数法 7770则 解.相应的方程(81-12)和边界条件(81-7)构成本征问题.式8.1-12)即 X"+AX=0, x0)=0,X(O=0; 2.求T 方程(8.1-9)现在写为 T+a T=0. 其解为 neat nat T(t)=A cOS + B sin (8.1-12) 式中A,B是积分常数 将式(8.1-11)和(81-12代入式(81-4),得分离变数形式解 narat narat IT n(x, t)=An cos +B sin 8.1-13) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 7/70 ). ©A§(8.1-12)Ú>.^(8.1-7) ¤ ¯K©ª(8.1-12)= ( X 00 + λX = 0, X(0) = 0, X(l) = 0; 2. ¦ T §(8.1-9)y3 T 00 + a 2 n 2π 2 l 2 T = 0. Ù) T(t) = A cos nπat l + B sin nπat l . (8.1-12) ª¥ A, B ´È©~ê© òª(8.1-11)Ú(8.1-12)\ª(8.1-4)§©lCê/ª) un(x, t) = An cos nπat l + Bn sin nπat l sin nπ l x. (8.1-13)
881.齐次方程的分离变数法 8/70 n为正整数.每一个n对应于一种驻波—称为两端固定弦的本征 振动.由此得 kl/n(k=0,1,2,…,n),共n+1个节点,同样有 n个波腹点.相邻节点距离!=半波长波长=2,本征振动圆频率 f 式(8.1-13)可改写为 un(r, t)=Dn sin x cos(ont-0n), nra B +B An arct 可见,在任意时刻t=to,波的形状是一正弦曲线;任一点x=x0 都以相同的圆频率ωn、初相位6n作谐振动,不同的点振幅不同.有 限长弦的自由振动是由一系列驻波叠加而成的,每一驻波的波形由特 征函数确定,频率由特征值确定.因此,分离变数法又称驻波法 由此可解释弦乐器的演奏.n=1是,1 7V2,称为基音 (频),ωn(n≥2)称为泛音(频),相应的振动称为基振动和次谐 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 8/70 n ê©z n éAu«7Å—¡üà½u Ä©dd§x = kl/n (k = 0, 1, 2, · · · , n)§ n+ 1 !:§Ók n ÅJ:©!:ål l n = Å:Å = 2l n§ Ä ªÇ ω = nπa l §f = ω 2π = na 2l © ª(8.1-13)U un(x, t) = Dn sin nπ l x cos(ωnt − θn), Dn = q A2 n + B2 n , ωn = nπa l , θn = arctg Bn An . §3?¿ t = t0§Å/G´u¶?: x = x0§ Ñ±Ó ªÇ ωn!Ð θn ħØÓ:ÌØÓ©k ugdÄ´dX7ÅU\ ¤§z7ÅÅ/dA ¼ê(½§ªÇdA(½©Ïd§©. l. C. ê. {. q. ¡. 7. Å. {. © dd)ºuWìüs©n = 1 ´§ω1 = πa l = π l qT ρ§¡ÄÑ £ª¤§ωn (n ≥ 2) ¡Ñ£ª¤§AÄ¡ÄÄÚg
881.齐次方程的分离变数法 9/70回 振动.基音决定了音调,而泛音决定了音色.不同的了器有不同的泛 音,即音色.通过改变弦长l、调整弦中张力T、使用不同粗细的弦 (p)等来改变频率,从而演奏出美妙动听的音乐 上式是满足泛定方程和边界条件的线性独立的特解,由于泛定方 程和边界条件是线性的,本征振动的线性组合就是泛定方程和边界条 件的一般解,即 neat n u(x, t) An cos +Bu sin sn-x。 (8.1-14 式中的任意常数An,Bn由初始条件确定 n An sin PP(r). (0<x<D (8.1-15) nra n Bu sin y(r). ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 9/70 Ä©ÄÑû½ ÑN§ Ñû½ ÑÚ©ØÓ ìkØÓ Ñ§=ÑÚ©ÏLUCu l!Nu¥Üå T!¦^ØÓo[u £ρ¤ 5UCªÇ§l üsÑ{©ÄfÑW© þª´÷v½§Ú>.^5ÕáA)§du½ §Ú>.^´5§ Ä5|ÜÒ´½§Ú>.^ )§= u(x, t) = X ∞ n=1 An cos nπat l + Bn sin nπat l sin nπ l x. (8.1-14) ª¥?¿~ê An, Bn dЩ^(½µ X ∞ n=1 An sin nπx l = ϕ(x), X ∞ n=1 nπa l Bn sin nπx l = ψ(x). (0 < x < l) (8.1-15)
881.齐次方程的分离变数法 10/70回 将式中的y(x)和y(x)展开为 Fourier正弦级数,得 nt. pp()sin-d5, (8.1-16) nTE y(s)sinds nra o (81-14)就是定解问题(81-1)(8.1-3)的解.其系数An和Bn有初始条 件确定.(8.1-14)刚好就是 Fourier正弦级数,这是由第一类齐次边界 条件(8.1-2)所决定的 可将上述分离变数法图示为 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 10/70 òª¥ ϕ(x) Ú ψ(x) Ðm Fourier u?ê§ An = 2 l Z l 0 ϕ(ξ) sin nπξ l dξ, Bn = 2 nπa Z l 0 ψ(ξ) sin nπξ l dξ. (8.1-16) (8.1-14)Ò´½)¯K(8.1-1)—(8.1-3))©ÙXê An Ú Bn kЩ^ (½©(8.1-14)fÐÒ´ Fourier u?ê§ù´d1aàg>. ^(8.1-2)¤û½© òþã©lCê{ã«