《数学分析(1,2,3)》教案 第五章微分中值定理及其应用 §1微分中值定理 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法。这样一来,类似于求已知曲线 上点的切线问题己获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样 计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具 另一方面,我们注意到:(1)函数与其导数是两个不同的的函数:(2)导数只是反映函数在一点的局 部特征:(3)我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾?需要在导数及函数间 建立起一一联系一一搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理。 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态(单调性、极值、凹凸性质)方面的应用。 费马定理 定义1(极值)若函数f在区间X上有定义,x∈X。若存在x的邻域O(x,),使得对于任意的 x∈O(x0,o),有f(x)≥f(x),则称f在点x取得极大值,称点x为极大值点。若存在x0的邻域O(x02o) 使得对于任意的x∈U(x),有f(x)≤f(x),则称f在点x取得极小值,称点x为极小值点。 极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点 极值存在的必要条件一一费马定理 费马定理若函数在点x的邻域内有定义,且在点x可导。若x为f的极值点,则比有f(x)= 几何意义:可导极值点的切线平行于x轴。 由费马定理可知,可导极值点是稳定点,反之不然。如f(x)=x3,点x=0是稳定点,但不是极值点 二中值定理 Lagrange定理若函数f满足以下条件:(1)f在[a,b]上连续:(2)f在(a,b)内可导。则在(a,b)内 至少存在一点,使得∫(f(b)-f(a) 特别地,当f(a)=f(b)时,有如下Roll定理: Role定理若f满足如下条件:(1)f(x)在[ab]上连续:(2)g(x)在(ab)可导:(3)fa)=f(b), 则存在∈(ab),使得f(5)=0 如把曲线弧AB用参数方程函数,则可得出以下中值定理 Cahy定理若函数∫(x),g(x)满足如下条件:(1)(1)f(x)在[ab上连续:(2)g(x)在(a,b) 5-1
《数学分析（1，2，3）》教案 5-1 第五章 微分中值定理及其应用 §1 微分中值定理 ⚫ 引言 在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线 上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样 计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。 另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局 部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间 建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。 本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。 一 费马定理 定义 1（极值） 若函数 f 在区间 X 上有定义， 0 x X 。若存在 0 x 的邻域 0 O x( , ) ，使得对于任意的 0 x O x ( , ) ，有 0 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 在点 0 x 取得极大值，称点 0 x 为极大值点。若存在 0 x 的邻域 0 O x( , ) ， 使得对于任意的 0 x U x ( ) ，有 0 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 在点 0 x 取得极小值，称点 0 x 为极小值点。 极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。 极值存在的必要条件――费马定理 费马定理 若函数在点 0 x 的邻域内有定义，且在点 0 x 可导。若 0 x 为 f 的极值点，则比有 0 f x ( ) 0 = 。 几何意义：可导极值点的切线平行于 x 轴。 由费马定理可知, 可导极值点是稳定点，反之不然。如 3 f x x ( ) = ,点 x=0 是稳定点，但不是极值点。 二 中值定理 Lagrange 定理 若函数 f 满足以下条件：（1）f 在 a b, 上连续；（2）f 在 (a b, ) )内可导。则在 (a b, ) 内 至少存在一点 ，使得 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a − = − 。 特别地，当 f a f b ( ) ( ) = 时，有如下 Rolle 定理： Rolle 定理 若 f 满足如下条件：（1） f x( ) 在 a b, 上连续；（2） g x( ) 在 (a b, ) )内可导；（3） f a f b ( ) ( ) = ， 则存在 (a b, ) ，使得 f ( ) 0 = 。 如把曲线弧 AB 用参数方程函数，则可得出以下中值定理： Cauchy 定理 若函数 f x( )，g x( ) 满足如下条件：（1）（1） f x( ) 在 a b, 上连续；（2） g x( ) 在 (a b, )
《数学分析(1,2,3)》教案 内可导:(3)g'(x)≠0。在存在∈(1)∫(x)在[ab]上连续:(2)g(x)在(ab)内可导。使得 fo f(b)-f(a g(5)g(b)-g(a) 说明 )几何意义:Roll:在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切 线(在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线); Lagrang:可微曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线 Cauchy:视为曲线的参数;u=f(x),v=g(x),x∈[a,b],则以v为横坐标,u为纵坐标可得曲线上有一点,该处 切线与曲线端点连线平行 (2)三个定理关系如下: Rolle+ (a/(b)Lagrang <g(=r-cauchy (3)三个定理中的条件都是充分但非必要。以 Rolle定理为例,三个条件缺一不可。1)不可导,不一定存 在;2)不连续,不一定存在;3)fa)≠f(b),不一定存在。“不一定存在”意味着一般情况如下:Role定理 不再成立。但仍可知有∫(5)=0的情形发生。如y=sgnx,x∈[-1,1不满足Roll定理的任何条件,但存在无 限多个5∈(1),使得f(5)=0。(4)1 arang定理中涉及的公式:f(5)=/(b)-f(a) b-a称之为“中值公 式”。这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式:(i)fb)-fa=f(2)(b-a),5∈(ab);(i) fb)-a=f(a+(b-a)0)(b-a),0<bl;(ii)fa+hfa)=f(a+mh,0<θ<1.此处,中值公式对a<b a>b均成立。此时ξ在a,b之间;(ⅱi)、(ⅲ)的好处在于无论a,b如何变化,θ∈(0,1)易于控制。 三中值定理的一些推论 1、 Rolle定理的推论:若f在[x1,x2l上连续,在(x1,x2)内可导,f(x)=f(x2)=0,则存在5∈(x1,x2), 使得f(5)=0(简言之:可导函数的两个之间必有导数的零点) 2、 Lagrang定理的推论: 推论若函数f在区间I上可导,且∫(x)=0,x∈1,则f为I上的一个常量函数。 几何意义:斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线 推论若函数f和g均在I上可导,且f(x)=g(x),x∈l,则在区间I上fx)与g(x)只差一个常数, 即存在常数C,使得f(x)=g(x)+C 例:设fe∈[a,b],在[a,b]连续可微,在(ab)二阶可微,且f(a)=f(b)=f(a)=0,证明:f"(x) 在(ab)中至少有一个根 例:设f(x)=x4-2x2+x,证明f(x)于(0,2)中至少有一根。 例:证明:当a>b>0时 a a-b lr bb 5-2
《数学分析（1，2，3）》教案 5-2 内可导；（3） g x ( ) 0 。在存在 （1） f x( ) 在 a b, 上连续；（2） g x( ) 在 (a b, ) )内可导。使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f b f a g g b g a − = − 。 说明 （1）几何意义：Rolle：在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切 线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）；Lagrang：可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线； Cauchy：视为曲线的参数；u=f(x)，v=g(x)，x [a,b]，则以 v 为横坐标，u 为纵坐标可得曲线上有一点，该处 切线与曲线端点连线平行。 （2）三个定理关系如下： f a f b g x x ( ) ( ) ( ) Rolle Lagrang Cauchy ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ = = （3）三个定理中的条件都是充分但非必要。以 Rolle 定理为例，三个条件缺一不可。1）不可导，不一定存 在；2）不连续，不一定存在；3）f(a) f(b)，不一定存在。“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle 定理 不再成立。但仍可知有 f ( ) 0 = 的情形发生。如 y=sgnx，x [-1,1]不满足 Rolle 定理的任何条件，但存在无 限多个 (-1,1)，使得 f ( ) 0 = 。（4）Lagrang 定理中涉及的公式： ( ) ( ) ( ) f b f a f b a − = − 称之为“中值公 式”。这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)-f(a)= f ( ) (b-a) ， (a,b)；（ⅱ） f(b)-f(a)= f a b a b a ( ( ) )( ) + − − ，0< <1；（ⅲ）f(a+h)-f(a)= f a h h ( ) + ，0< <1. 此处，中值公式对 a<b， a>b 均成立。此时 在 a，b 之间；（ⅱ）、（ⅲ）的好处在于无论 a，b 如何变化， (0,1) 易于控制。 三 中值定理的一些推论 1、Rolle 定理的推论：若 f 在[ 1 x ， 2 x ]上连续，在( 1 x ， 2 x )内可导， 1 2 f x f x ( ) ( ) 0 = = ，则存在 1 2 ( , ) x x ， 使得 f ( ) 0 = （简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）。 2、Lagrang 定理的推论： 推论 若函数 f 在区间 I 上可导，且 f x ( ) 0 = ， x I ，则 f 为 I 上的一个常量函数。 几何意义：斜率处处为 0 的曲线一定是平行于 x 轴的直线。 推论 若函数 f 和 g 均在 I 上可导，且 f x g x ( ) ( ) = ， x I ，则在区间 I 上 f(x)与 g(x)只差一个常数， 即存在常数 C，使得 f x g x C ( ) ( ) = + 。 例：设 f [ , ] a b ，在 [ , ] a b 连续可微，在（a,b）二阶可微，且 f a f b f a ( ) ( ) ( ) 0 = = = ，证明： f x ( ) 0 = 在(a,b)中至少有一个根。 例：设 4 2 f x x x x ( ) 2 = − + ，证明 f x ( ) 于（0, 2）中至少有一根。 例：证明：当 a>b>0 时， ln a b a a b a b b − −
《数学分析(1,2,3)》教案 例:证明:|sinx-siny图x-y|,Vx,y∈R §2.泰勒公式 利用导数作近似计算 1.近似计算 前已描述,如果y=∫(x)在x点可微,则当Δx很小时,有f(x。+△x)≈f(x0)+f(x0)△x,亦即,当 ≈x0时有 f(x)≈f(x)+f(xx-x0)(用导数作近似计算公式)。 注:导数作近似计算公式常用于:直接计算∫(x)比较困难,而在x点附近一点x处的函数值f(x)的 导数f(x0)却都比较容易求得。 例:求sin-丌的近似值。 例:计算√401的近似值。 把f(x)≈f(x0)+f(x0(x-x0)用于具体函数,可得:sinx≈x,tanx≈x,ln(1+x)≈x,e≈1+x。 2.误差估计 实际测量或计算所得的数据,一般都是近似值。要知道这些数据的准确程度,就必须估计这些数据的近 似程度,即估计它与准确值的差,这就是误差估计。 般地,如果一个量A的近似值为a,那么δ=A-a叫作绝对误差,而da叫作相对误差 般地,对函数y=f(x),若x是由测量得到的,如果由x计算y时,x有误差△x,则y有绝对误差 If'(x)Ar 和相对误差 f"(x) 例:测得一球体的直径为42cm,测量工具的精度为00cm,试求此直径计算球体积时所起的误差 泰勒公式 不论在近似计算或理论分析中,我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数,这将会带来 很大的方便。一般来说,最简单的是多项式,因为多项式是关于变量加、减、乘的运算,但是,怎样从一个 函数本身得出我们所需要的多项式呢? 前面讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道,如果函数f在点x可导,则有有限存在公式
《数学分析（1，2，3）》教案 5-3 例：证明： | sin sin | | | x y x y − − ， x y R , 。 §2. 泰勒公式 一 利用导数作近似计算 1．近似计算 前已描述，如果 y f x = ( ) 在 0 x 点可微，则当 x 很小时，有 0 0 0 f x x f x f x x ( ) ( ) ( ) + + ，亦即，当 0 x x 时有 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( ) + − （用导数作近似计算公式）。 注：导数作近似计算公式常用于：直接计算 f x( ) 比较困难，而在 x 点附近一点 0 x 处的函数值 0 f x( ) 的 导数 0 f x ( ) 却都比较容易求得。 例：求 7 sin 60 的近似值。 例：计算 4.01 的近似值。 把 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( ) + − 用于具体函数，可得： sin x x ，tan x x ，ln(1 ) + x x ， 1 x e x + 。 2．误差估计 实际测量或计算所得的数据，一般都是近似值。要知道这些数据的准确程度，就必须估计这些数据的近 似程度，即估计它与准确值的差，这就是误差估计。 一般地，如果一个量 A 的近似值为 a，那么 =|A-a|叫作绝对误差，而 /a 叫作相对误差。 一般地，对函数 y f x = ( ) ，若 x 是由测量得到的，如果由 x 计算 y 时， x 有误差 x ，则 y 有绝对误差 f x x ( ) 和相对误差 ( ) ( ) f x ' f x 。 例：测得一球体的直径为 42cm，测量工具的精度为 0.01cm，试求此直径计算球体积时所起的误差。 二 泰勒公式 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来 很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个 函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 前面讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数 f 在点 0 x 可导，则有有限存在公式；
《数学分析(1,2,3)》教案 f(x)=f(x0)+f(x0(x-x0)+o(x-x0) 即在x附近,用一次多项式P(x)=f(x0)+f(x0(x-x)逼近函数f(x)时,其误差为o(x-x) 然而,在很多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近,并要求 误差为o(x-x0)"),其中n为多项式次数。为此,有如下的n次多项式 Pn(x)=ao +a,(x-xo)+.+a,(x-xo) 易见 4=P2(x),a1=2(x) Pn (多项式的系数由其各阶导数在x0的取 2! 值唯一确定)。 定理若f(x)在x=x点有直到n+1阶连续导数,那么: 对1)+、-)+“+y(n+1)(x- 其中ξ在x与x之间。这就是泰勒公式。余项称为拉格朗日余项。 注:带有皮亚诺余项的泰勒公式 f(x)=f(x0)+ fo f(xo) x0)+ (x-x0)+o(x-x0)) 1! o(x-x)")的余项称为皮亚诺余项。 常见的麦克劳林公式 e=1+x+-+…+-+o(x") 2n-1 SInx= x +-+…+(-1) +Olx cOSx=l ++…+(-1)2 anrl+o(x2m) n(1+x)=x- (-1)-+o(x") (1+x)=1+ a(a-1)…(a-n+1) +O(x") 1+x+x2+…+x"+o(x") (2)带 Lagrange型余项的麦克劳林公式
《数学分析（1，2，3）》教案 5-4 0 0 0 0 f x f x f x x x o x x ( ) ( ) ( )( ) ( ) = + − + − 即在 0 x 附近，用一次多项式 1 0 0 0 p x f x f x x x ( ) ( ) ( )( ) = + − 逼近函数 f x( ) 时，其误差为 0 o x x ( ) − 。 然而，在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求 误差为 0 (( ) ) n o x x − ，其中 n 为多项式次数。为此，有如下的 n 次多项式： 0 1 0 0 ( ) ( ) ( )n n n p x a a x x a x x = + − + + − 易见： 0 0 ( ) n a p x = ， 0 1 ( ) 1! n p x a = ， 0 2 ( ) 2! n p x a = ，…， ( ) 0 ( ) ! n n n p x a n = （多项式的系数由其各阶导数在 0 x 的取 值唯一确定）。 定理 若 f x( ) 在 0 x x = 点有直到 n+1 阶连续导数，那么： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! ! 1 ! n n n n f x f x f f x f x x x x x x x n n + + = + − + + − + − + ， 其中 在 0 x 与 x 之间。这就是泰勒公式。余项称为拉格朗日余项。 注：带有皮亚诺余项的泰勒公式 ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) 1! ! n n n f x f x f x f x x x x x o x x n = + − + + − + − 0 (( ) ) n o x x − 的余项称为皮亚诺余项。 常见的麦克劳林公式 2 1 ( ) 2! ! n x n x x e x o x n = + + + + + 3 5 2 1 1 2 sin ( 1) ( ) 3! 5! (2 1)! m x x x m m x x o x m − − = − + + + − + − 2 4 2 2 1 cos 1 ( 1) ( ) 2! 4! (2 )! m x x x m m x o x m + = − + + + − + 2 3 1 ln(1 ) ( 1) ( ) 2 3 n x x x n n x x o x n − + = − + + + − + 2 ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) 1 ( ) 2! ! n n x x x o x n − − − + + = + + + + + 1 2 1 ( ) 1 n n x x x o x x = + + + + + − （2）带 Lagrange 型余项的麦克劳林公式
《数学分析(1,2,3)》教案 nx∈R,θ∈(0.,1) sInx=x +-+…+(-1)m1x2m coset (2m-1) (2m+1)! x2m+x∈R,O∈(0,1) COsx=1-x +1 coset 2!4! (2m) (2m+2)+3m2x∈R,O∈(0,1) In(1+x)=x-rx +…+(-1)1 x>-1,b∈(0,1) (n+1)(1+bx) 1+x)=1+ax+a(a-1) a(a-1)…(a-n+1) a(a-1)…(a-n) (1+8x)-x x>-1,0∈(0,1) =1+x+x2+…+x"+ x<1,b∈(0,1) 例:写出f(x)=e2的 Maclaurin公式,并求∫)(0)与f0(O) 例:求nx在x=3处的 Taylor公式 例:Iim cosx-e 例:(1)计算e的值,使其误差不超过10-5:(2)证明e为无理数 §3函数的升降、凸性与极值 一函数的上升与下降 定理1设x)在区间[a,b]上可导,则x在[a,b]上递增(减)f(x)≥0(≤0) 注(1)这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性,确定单调区间。 例:设∫(x)=x3-x,试讨论函数∫的单调区间 (2)从实现充分性的证明中发现,若∫(x)>0(<0)→f(x2)>f(x)((x2)<f(x),即f严格递 增(减),从而有如下推论: 推论设函数∫在区间[b]连续,在(ab)可微,若f(x)>0(<0)且不变号,则∫在[b]上严格递 增(减)。 (3)上述推论是严格递增(减)的一个充分非必要条件。 例:证明等式:当x≠0时,e2>1+x 5-5
《数学分析（1，2，3）》教案 5-5 2 1 1 2! ! ( 1)! n x x n x x e e x x n n + = + + + + + + x R ， (0,1) 3 5 2 1 1 2 1 cos sin ( 1) ( 1) 3! 5! (2 1)! (2 1)! m x x x x m m m x x x m m − − + = − + + + − + − − + x R ， (0,1) 2 4 2 1 2 2 cos cos 1 ( 1) ( 1) 2! 4! (2 )! (2 2)! m x x x x m m m x x m m + + = − + + + − + − + x R ， (0,1) 2 3 1 1 1 ln(1 ) ( 1) ( 1) 2 3 ( 1)(1 ) n n n n n x x x x x x n n x + − + + = − + + + − + − + + x −1， (0,1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) 1 2! ! n n x x x x n − − − + + = + + + + 1 1 ( 1) ( ) (1 ) ! n n n x x n − − − − + + + x −1， (0,1) 1 2 2 1 1 1 (1 ) n n n x x x x x x + + = + + + + + − − x 1， (0,1) 例： 写出 3 2 ( ) x f x e − = 的 Maclaurin 公式，并求 (98) f (0) 与 (100) f (0) 。 例： 求 ln x 在 x = 3 处的 Taylor 公式。 例： 2 2 4 0 cos lim x x x e → x − 例： （1）计算 e 的值，使其误差不超过 5 10− ；（2）证明 e 为无理数。 §3 函数的升降、凸性与极值 一 函数的上升与下降 定理 1 设 f(x)在区间 a b, 上可导，则 f(x)在 a b, 上递增（减） f x ( ) 0( 0). 注 （1）这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性，确定单调区间。 例： 设 3 f x x x ( ) = − ，试讨论函数 f 的单调区间。 （2）从实现充分性的证明中发现，若 2 1 f x f x f x ( ) 0( 0) ( ) ( ) 2 1 ( ( ) ( )) f x f x ，即 f 严格递 增（减），从而有如下推论： 推论 设函数 f 在区间 a b, 连续，在 (a b, ) 可微，若 f x ( ) 0( 0) 且不变号，则 f 在 a b, 上严格递 增（减）。 （3）上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件。 例：证明等式：当 x 0 时， 1 x e x +