881.齐次方程的分离变数法 16/70回 把本征值(81-26代入关于时间的常微分方程(81-25,得 T"=0,A=0; T=0,A>0. 其解为 T0(t)=A0+B0t, (8.1-28) nta na Tn(t)= An cost Bn sin-t, n=1,2,… 1-29) 式中A0,B0,An,Bn均为任意常数 将式(81-27)、(8.1-28和(8.1-29)代入(8.1-20),得本征解一本征振 动 (x,D)=A0+B u(x,=(4c0s=9t+Bnsm=)cos=x,(m=1,2,…) 一般解是上述本征解的叠加,即 na nra nt (x,t)=A0+B0t+ An cost +Bn sin"t) cos &1-31) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 16/70 r (8.1-26)\'um~©§(8.1-25)§ T 00 = 0, λ = 0; T 00 + n 2π 2a 2 l 2 T = 0, λ > 0. Ù) T0(t) = A0 + B0 t, (8.1-28) Tn(t) = An cos nπa l t + Bn sin nπa l t, n = 1, 2, · · · . (8.1-29) ª¥ A0, B0, An, Bn þ?¿~ê© òª(8.1-27)!(8.1-28)Ú(8.1-29)\(8.1-20)§ )— Ä ( u0(x, t) = A0 + B0 t, un(x, t) = An cos nπa l t + Bn sin nπa l t cos nπ l x, (n = 1, 2, · · · ). (8.1-30) )´þã )U\§= u(x, t) = A0 + B0 t + X ∞ n=1 An cos nπa l t + Bn sin nπa l t cos nπ l (8.1-31) x.
881.齐次方程的分离变数法 17/70回 其中系数由初始条件(81-19)确定: An cos x= p(r) 0≤x≤D nra nT B0+> Bn cosx=收x 由 Fourier级数展开,得 A 0 P(Eds, P(E)cos-Sds (8.1-32) y(s)ds y()c0s,5d5 nta Jo 解(81-31)中的A0+Bot描写杆的整体移动,其余部分才真正描写杆的 纵振动.从(8.1-32)知A0与B0分别等于平均初始位移和平均韧始速 度.由于不受外力作用,杆以不变的速度B0移动.解(81-31)正是傅 里叶余弦级数.这是在x=0和x=l处的第二类齐次边界条 件(81-18)决定的 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 17/70 Ù¥X êdЩ^(8.1-19)(½µ A0 + X ∞ n=1 An cos nπ l x = ϕ(x), B0 + X ∞ n=1 nπa l Bn cos nπ l x = ψ(x). (0 ≤ x ≤ l) d Fourier ?êÐm§ A0 = 1 l Z l 0 ϕ(ξ)dξ, B0 = 1 l Z l 0 ψ(ξ)dξ; An = 2 l Z l 0 ϕ(ξ) cos nπ l ξdξ, Bn = 2 nπa Z l 0 ψ(ξ) cos nπ l ξdξ. (8.1-32) )(8.1-31)¥ A0 + B0 t £\N£Ä§Ù{Ü©âý£\ pÄ©l(8.1-32) A0 B0 ©O u²þЩ £Ú²þ>© Ý©duØÉ å^§\±ØCÝ B0 £Ä©)(8.1-31)´F p{u?ê©ù´3 x = 0 Ú x = l ?1aàg>.^ (8.1-18)û½©
881.齐次方程的分离变数法 18/70回 下一个例子是一端为第一类齐次边界条件,另一端为第二类齐次 边界条件,即混合边界条件的例子 ↓例2研究细杆导热问题.初始时刻杆的一端温度为零度,另一端温 度为u,杄上温度梯度均匀,零度的一端保持温度不变,另一端跟外 界绝热.试求细杆上温度的变化. 解:杆上温度u(x,t)满足下列泛定方程和定解条件 a'=k/cp 8.1-33 =0 (8.1-34) lt-o uox/l 0<x<L (8.1-35) 设分离变数形式的试探解为 u(r, t)= X()T(t), (8.1-36) 代入泛定方程(81-33和边界条件(8.1-34),得关于X(x)的常微分方程 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 18/70 e~f´à1aàg>.^§,à1aàg >.^§=·Ü>.^~f© ✿ ~ïÄ[\9¯K©Ð©\à§Ý"ݧ,à§ Ý u0§\þ§ÝFÝþ!§"Ý౧ÝØC§,à .ý9©Á¦[\þ§ÝCz© )µ\þ§Ý u(x, t) ÷ve½§Ú½)^ ut − a 2uxx = 0, a 2 = k/cρ, (8.1-33) ( u|x=0 = 0, ux|x=l = 0, (8.1-34) u|t=0 = u0x/l, 0 < x < l. (8.1-35) ©lCê/ªÁ&) u(x, t) = X(x)T(t), (8.1-36) \½§(8.1-33)Ú>.^(8.1-34)§'u X(x) ~©§
881.齐次方程的分离变数法 19/70回 和条件及关于T(t)的常微分方程: Ⅹ+AX=0 (8.1-37) X(0)=X(D)=0, (8.1-38) T"+Aa2T=0. (8.1-39) 方程式(8.1-37)和条件(8.1-38)构成关于X(x)的本征值问题.容易 验证,当λ=0或λ<0时,只能得到无意的解X(x)≡0,当A>0 是,方程(81-37)的解为 X()=Ci cos vix+C2 sin vAx. 代入条件(81-38),确定系数C1和C2,即 1 coS 0 仅在如下情况下才能得到有意义的非零解: C2≠0, ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 19/70 Ú^9'u T(t) ~©§µ X 00 + λX = 0, (8.1-37) X(0) = X 0 (l) = 0, (8.1-38) T 0 + λa 2T = 0. (8.1-39) §ª(8.1-37)Ú^(8.1-38)¤'u X(x) ¯K©N´ y§ λ = 0 ½ λ < 0 §Uÿ) X(x) ≡ 0§ λ > 0 ´§§(8.1-37)) X(x) = C1 cos √ λx + C2 sin √ λx. \^(8.1-38)§(½Xê C1 Ú C2§= ( C1 = 0, C2 √ λ cos √ λl = 0. =3Xe¹eâUk¿Â")µ C1 = 0, C2 , 0,
881.齐次方程的分离变数法 20/70 cos val=0 所以本征值和本征函数 (k+1)22(2k+1)2 4 k=0,1,2,· 8.1-40) (2k+1)丌 X(r)= C2 sin k=0,1,2, (8.1-41) 20 将本征值代如关于T(t)的方程(81-39),有 (k+ T+ a T=0. 其解为 (k+3)2n2a2 T(t)= Ce 42) 本例的本征函数8141)即sin+x既不同于第一类齐次边界条 件的sin"x,又不同于第二类齐次边界条件的cosx 其实边界条件uxk=1=0表明,可以把导热杆从区间(0,D偶延拓 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 20/70 cos √ λl = 0, ¤± Ú ¼ê λ = (k + 1 2 ) 2π 2 l 2 = (2k + 1)2π 2 4l 2 , k = 0, 1, 2, · · · . (8.1-40) X(x) = C2 sin (2k + 1)π 2l x, k = 0, 1, 2, · · · . (8.1-41) ò X'u T(t) §(8.1-39)§k T 0 + a 2 (k + 1 2 ) 2π 2 l 2 T = 0. Ù) T(t) = Ce − (k+ 1 2 ) 2π 2a 2 t l 2 . (8.1-42) ~ ¼ê(8.1-41)= sin (2k+1)π 2l x QØÓu1aàg>.^ sin nπ l x§qØÓu1aàg>.^ cos nπ l x© Ù¢>.^ ux|x=l = 0 L²§±r9\l«m (0, l) óòÿ