加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 6.7 子空间的直和
6.7 子空间的直和
G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 。定义 。直和的充分必要条件 ●直和的性质 。多个子空问的直和
主要内容 定义 直和的充分必要条件 直和的性质 多个子空间的直和
加求翟王大 设V=V+V2,则对；∈V,都有 ξ=a+B,a∈V,B∈V2 1)在V=R3中，设V1为x0y平面，V2为y0z平面，即 V1={(x,y,0)lx,y∈R,V2={(0,y,z)y,z∈R} 那么对ξ=(1,1,1)∈V,有 ξ=(1,1,1)=(1,2,0)+(0，-1,1)=(1,1,0)+(0,0,1)
设𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2，则对∀𝜉 ∈ 𝑉，都有 1) 在𝑉 = 𝑅 3中，设𝑉1为𝑥𝑜𝑦平面，𝑉2为𝑦𝑜𝑧平面，即 𝑉1 = 𝑥, 𝑦, 0 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 , 𝑉2 = 0, 𝑦, 𝑧 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 那么对𝜉 = 1,1,1 ∈ 𝑉，有 𝜉 = 1,1,1 = 1,2,0 + (0, −1,1) = 1,1,0 + (0,0,1) 𝜉 = 𝛼 + 𝛽, 𝛼 ∈ 𝑉1 , 𝛽 ∈ 𝑉2
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2)在V=R3中，设V1为x0y平面，V2为z轴，即 V1={(x,y,0)川x,y∈R,V2={(0,0,z1z∈R(0,0,z) 那么对5=(x,y,z)∈V,有专=(x,y,0)+(0,0,z) ·子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊情形
2) 在𝑉 = 𝑅 3中，设𝑉1为𝑥𝑜𝑦平面，𝑉2为𝑧轴，即 𝑉1 = 𝑥, 𝑦, 0 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 , 𝑉2 = 0,0, 𝑧 𝑧 ∈ 𝑅 0,0, 𝑧 那么对∀𝜉 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉，有 𝜉 = 𝑥, 𝑦, 0 + 0,0, 𝑧 • 子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊情形
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、定义 定义1设V1,V2是线性空间V的子空间，如果和 V1+V2中每个向量的分解式 0=01+02, a1eV1,2∈V2, 是唯一的，这个和就称为直和，记为V1田V2·
一、定义 定义 1 设 𝑉1 , 𝑉2 是线性空间 𝑉 的子空间，如果和 𝑉1 + 𝑉2中每个向量 的分解式 = 1 + 2 ， 1 𝑉1 , 2 𝑉2 , 是唯一的，这个和就称为直和，记为 𝑉1 𝑉2