《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）复习课-向量组的线性关系

第二章矩阵与向量 复习课 向量组的线性相关性 线性组合 三、 向量组的等价 三、 向量组的线性相关性 四、重要结论 五、向量组的极大线性无关组

第二章 矩阵与向量 二、向量组的等价 一、线性组合 复习课 向量组的线性相关性 三、向量组的线性相关性 四、重要结论 五、向量组的极大线性无关组

第二章矩阵与向量 一、线性组合 1.定义 对于向量41,2，Qm和，若存在m 个数元1,22.，2m,使得： a=21a1+22a2+.+九m0cm 则称a是01，%2，Cm的线性组合，21,22，.，2m称为 组合系数，。 或称向量a可由向量组%，2，Cm 线性表示

第二章 矩阵与向量 一、线性组合 1.定义 对于向量1 ,2 ,., m和，若存在m 个数1 ,2 ,. ,m ，使得： 则称是1 ,2 ,.,m 的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称为 组合系数，或称向量可由向量组1 ,2 ,.,m 线性表示 .  = 11 + 22 + .+ mm

第二章矩阵与向量 2.结论 (1)n维零向量能由任意的n维向量组线性表示. 0=0a1+02+.+0as (2)向量能由包含a的向量组线性表示. 0=10+0a2+.+0as (3)E1=(1,0,0),e2=(0,1,0),ε3=(0,0,1)称为三维单 位向量组 0=(2,4,5)=2ε1+4e2+5E3

第二章 矩阵与向量 2.结论 （1）n维零向量能由任意的n维向量组线性表示 . 0 0 0 1 0 0

第二章矩阵与向量 般地，称81=(1,0，.，0)，62=(0,1，0)，.，6n=(0,0,.,1) 为n维单位向量组. 0=(41,2,4n)=4161+42E2+.+4n8n 任意的n维向量a都能由c1,62,6n线性表示。 3.判定方法 例1判断向量α=(0,4,2)是否能由向量%1=(1,2,3) 02=(2,3,1),a3=(3,1,2)线性表示，若能，将 a用a,a2,c,线性表示

第二章 矩阵与向量 1 2 , , , . 任意的n维向量    都能由  n 线性表示 1 2 (1, 0, , 0) (0,1, , 0) (0, 0, ,1) n 一般地，称   =  =  =  ， ， ， 为n维单位向量组. 1 1 2 2 n n = + ++ a a a    =( , , , ) 1 2 n  a a a  3.判定方法 1 2 3 1 2 3 (0, 4, 2) (1, 2, 3) (2, 3,1) (3,1, 2) , , .         = = = = 例1 判断向量 是否能由向量 ， ， 线性表示，若能，将 用 线性表示

第二章矩阵与向量 解：先假定ax=2a1+22+a3?即 0,4,2)=2(1,2,3)+元2(2,3,1)+2(3,1,2) =(21+222+323,22+322+几3,32+22+223) 因此 「九1+222+3九=0， 2元+32+23=4， 3九+2+22=2. 2 3 01 [1 2 3 01 2 3 1 -1 -5 3 1 2 Lo -5 -7 2」 1 2 3 0 1 2 3 -5 4 0 1 -5 4 18 18]

第二章 矩阵与向量 1 2 3 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) = + +    1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + + + + + ( 2 3 ,2 3 ,3 2 )          因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.           + + =   + + =  + + =  解：先假定        = + + 1 1 2 2 3 3， 即