加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 6.8 线性空间的同构
6.8 线性空间的同构
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、 定义 定义1 数域P上两个线性空间V与V'称为同构的，如果 由V到V”有一个双射0，具有以下性质： 1)o(C+B)=o()+(B); 2)σ(ka)=ko(a), 其中，B是V中任意向量，k是P中任意数. 这样的映射0称为同构映射
一、定义 定义1 数域 𝑃 上两个线性空间 𝑉 与 𝑉 ′称为同构的，如果 由 𝑉 到 𝑉 ′有一个双射 𝜎 , 具有以下性质： 1) 𝜎 𝛼 + 𝛽 = 𝜎 𝛼 + 𝜎 𝛽 ; 2) 𝜎 𝑘𝛼 = 𝑘𝜎 𝛼 , 其中 𝛼, 𝛽是 𝑉 中任意向量，𝑘 是 𝑃 中任意数. 这样的映射 𝜎 称为同构映射
山求濯工大深 二、同构映射的性质 由定义可以看出，同构映射具有下列基本性质： 1.0(0)=0,0(-)=-0() 2.o(k11+k202+.+kcr) =k1o(1)+k20(2)+.+kro(ar):
二、同构映射的性质 由定义可以看出, 同构映射具有下列基本性质: 1. 𝜎 0 = 0, 𝜎 −𝛼 = −𝜎(𝛼) 2. 𝜎(𝑘1𝛼1 + 𝑘2𝛼2 + ⋯ + 𝑘𝑟𝛼𝑟 ) = 𝑘1𝜎(𝛼1 ) + 𝑘2𝜎(𝛼2 ) + ⋯ + 𝑘𝑟𝜎(𝛼𝑟 )
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3.V中向量组C1,C2,.,Cr线性相关的充分必要条件是， 它们的像σ(1)，σ(2)，.，σ(r)线性相关. ·同构的线性空间有相同的维数
3. 𝑉 中向量组 𝛼1 ,𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑟线性相关的充分必要条件是， 它们的像 𝜎 𝛼1 , 𝜎 𝛼2 , ⋯ ,𝜎(𝛼𝑟 )线性相关. • 同构的线性空间有相同的维数
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 4.如果V1是V的一个线性子空问，那么，V1在o下的 像集合 o(V1)={o(a)|a∈V1} 是σ(V)的子空间，并且V1与0(V1)维数相同. 5.同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射. 。同构映射具有反身性、对称性和传递性
4. 如果 𝑉1 是𝑉的一个线性子空间，那么，𝑉1在 下的 像集合 𝜎(𝑉1 ) = { 𝜎(𝛼) | 𝛼 ∈ 𝑉1 } 是 𝜎(𝑉) 的子空间，并且𝑉1 与 𝜎 (𝑉1 ) 维数相同. 5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射. • 同构映射具有反身性、对称性和传递性