山东理子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、直和的充分必要条件 定理1和V1十V2是直和的充分必要条件是零向量 的分解式是唯一的.即等式 C%1+02=0, 41∈V1,o2∈V2, 只有在心1,02全为零时才成立. 证明 这个条件显然是必要的 下面来证这个条件的充分性
二、直和的充分必要条件 定理 1 和 𝑉1 + 𝑉2 是直和的充分必要条件是零向量 的分解式是唯一的.即等式 1 +2 = 0， 1 𝑉1 , 2 𝑉2 , 只有在𝛼1 , 𝛼2全为零时才成立. 证明 这个条件显然是必要的. 下面来证这个条件的充分性
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 设x∈V1十V2,它有两个分解式 a=a1+2=B1+B2, c1,B1∈V1,2,B2∈V2 于是 (1-f1)+(a2-B2)=0 其中1-B1∈V1,a2-B2∈V2·由定理的条件，有 a1-β1=0,2-B2=0,即a1=B1,02=B2· 这就是说，向量的分解式是难一的
设 𝛼 𝑉1 + 𝑉2，它有两个分解式 𝛼 = 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛽1 + 𝛽2 , 𝛼1 , 𝛽1 ∈ 𝑉1 ,𝛼2 , 𝛽2 ∈ 𝑉2 于是 (𝛼1 − 𝛽1 ) + (𝛼2 − 𝛽2 ) = 0 其中𝛼1 − 𝛽1 𝑉1 , 𝛼2 − 𝛽2 𝑉2 . 由定理的条件，有 𝛼1 − 𝛽1 = 0 , 𝛼2 − 𝛽2 = 0 , 即 𝛼1 = 𝛽1 , 𝛼2 = 𝛽2 . 这就是说，向量 的分解式是唯一的