《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）复习课 线性方程组

第四章线性方程组 复习课线性方程组 线性方程组的解的判别 ·齐次线性方程组的解的结构 ·非齐次线性方程组解的结构

第四章 线性方程组 复习课 线性方程组 齐次线性方程组的解的结构 线性方程组的解的判别 非齐次线性方程组解的结构

第四章线性方程组 一、引入 n元线性方程组 411x1+412X2+.+41nXn=b1 21x1+22x2++02mxn=b2 (4-1) mx1+m2X2+.+AmnXn=bm 记 1 12 . n 1 012 . b A= 421 42 ,A= 42 M22 A2n m2 bm

第四章 线性方程组 n 元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (4 1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =  −    + + + = 11 12 1 11 12 1 1 21 22 2 21 22 2 2 1 2 1 2 , n n n n m m mn m m mn m a a a a a a b a a a a a a b A A a a a a a a b             = =             记 一、引入

第四章线性方程组 b X= b= b2 ·:: 于是，这个非齐次方程组可以记为Ax=b

第四章 线性方程组 1 1 2 2 , . n m x b x b x b x b             = =             于是，这个非齐次方程组可以记为 Ax = b

第四章线性方程组 二、线性方程组解的判别 定理4.1.1线性方程组(4-1)有解的充分必要条件是R(A)=R() 证： 对于一般线性方程组（4-1)，设 w 2 b 21 22 A2n C1= ,C2= ,B= B2 。 bn】 则线性方程组（4-1)可写为 x101+x2C2+.+xnn=B(4-3)

第四章 线性方程组 二、线性方程组解的判别 定理4.1.1 (4 1) ( ) ( ). 线性方程组 − = 有解的充分必要条件是R A R A 证： 对于一般线性方程组（4-1），设 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 , , , , n n n m m mn m a a a b a a a b a a a b                             = = = =                             则线性方程组（4-1）可写为 1 1 2 2 (4 3) n n x x x     + ++ = −

第四章线性方程组 并且 A=[a1a2.an] A=[a a2.an B 必要性 若方程组有解，则(4-3)知B可由a,a2.,a线性 表示，于是向量组%，2，n与向量组g,2,.,Cn,B 等价.由性质2.3.1知秩{C,2,an}=秩{a1,02,n,}, 所以R(A)=R(A)

第四章 线性方程组 1 2 1 2 n n A A        =      =      并且 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (4 3) , , , , , , , , , , . 2.3.1 , , , , , , ( ) ( ). n n n n n R A R A                   −      = 若方程组有解，则由 知 可由 线性 表示，于是向量组 与向量组 等价由性质 知秩{ }=秩{ , }, 所以 必要性