行列式 同理,jn+1,in+2,…,n取值n+1,n+2,…,2n中的值,因为 1,2,…,n已经被i,,…,im取值.所以,整个2n级排列分成两个 部分,j…n取值12.n的所有排列;jn+1in+2…i2n取 (n+1)(n+2)…2n的所有排列,它又等价于i1i2…in取所有n级 排列(设91为所有n级排列构成的集合),因此有 det=∑ (1)U12-Jn)Cli C,i.. Cn. jn j-nE男 ∑(-1)(b)Cm+,n+h4Cm+2,m+2…C2m+n i1l2…inE1 ∑ (1TUR-/n)a ∑ T(ii.in) b,ib2z……bnin det (a)det(B)
行列式 同理, jn+1,jn+2,...,j2n 取值 n+1,n+2,..., 2n 中的值, 因为 1, 2,...,n 已经被 j1,j2,...,jn 取值. 所以, 整个 2n 级排列分成两个 部分, j1j2 ···jn 取值 12...n 的所有排列; jn+1jn+2 ···j2n 取 (n+1)(n+2)···2n 的所有排列, 它又等价于 i1i2 ···in 取所有 n 级 排列(设 P1 为所有 n 级排列构成的集合), 因此有 det(C) = X j1j2...jn∈P1 (−1) τ(j1j2...jn)C1,j1C2,j2 ...Cn,jn X i1i2···in∈P1 (−1) τ(i1i2...in)Cn+1,n+i1Cn+2,n+i2 ···C2n,n+in = X j1j2...jn∈P1 (−1) τ(j1j2...jn) a1,j1 a2,j2 ...an,jn X i1i2···in∈P1 (−1) τ(i1i2...in) b1,i1 b2,i2 ···bn,in = det(A)det(B) 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 对C实施初等变换,即 a 0 0AB全D -In B -In B 个过程等价于,依次对C做一系列初等变换 将C的第n+1行数乘a11加到C的第1行, 将C的第2n行数乘a1n加到C的第1行, 将C的第n+1行数乘a21加到C的第2行 将C的第2n行数乘an加到C的第2行, 将C的第2n行数乘am加到C的第n行, 根据行列式性质(8),有detC)=det①D)
行列式 对 C 实施初等变换, 即 C = · A 0 −In B ¸ → · 0 AB −In B ¸ 4 = D 这个过程等价于, 依次对 C 做一系列初等变换: 将 C 的第 n+1 行数乘 a11 加到 C 的第1行, . . . 将 C 的第 2n 行数乘 a1n 加到 C 的第1行, 将 C 的第 n+1 行数乘 a21 加到 C 的第2行, . . . 将 C 的第 2n 行数乘 a2n 加到 C 的第2行, . . . 将 C 的第 2n 行数乘 ann 加到 C 的第n行, 根据行列式性质(8), 有 det(C) = det(D) 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 0 AB AB 0 det(D)= :(-1) B-1.|=(-1)2det(AB) 所以,det(AB)=detA)det(B) 证毕#
行列式 det(D) = ¯ ¯ ¯ ¯ 0 AB −In B ¯ ¯ ¯ ¯ = (−1) n ¯ ¯ ¯ ¯ AB 0 B −In ¯ ¯ ¯ ¯ = (−1) 2n det(AB) 所以, det(AB) = det(A)det(B). 证毕# 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 利用行列式性质求解下列行列式 例1: 01241 149 20113 4916 13526 9162536 1625364 1166 解(1) 4916 49 491625 3579 9162536 | 57911 2222 16253649
行列式 利用行列式性质求解下列行列式: 例 1: (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 4 9 16 4 9 16 25 9 16 25 36 16 25 36 49 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 2 4 1 2 0 1 1 3 −1 3 5 2 6 3 4 3 5 0 1 1 1 6 6 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 解(1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 4 9 16 4 9 16 25 9 16 25 36 16 25 36 49 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ R4 −R3 R3 −R2 ======== R2−R1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 4 9 16 3 5 7 9 5 7 9 11 7 9 11 13 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ R4 −R3 R3 −R2 ======== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 4 9 16 3 5 7 9 2 2 2 2 2 2 2 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 解(2) 0113 0-2 l3526 04 34350 0 21600 13-18 l1166 …=900
行列式 解(2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 2 4 1 2 0 1 1 3 −1 3 5 2 6 3 4 3 5 0 1 1 1 6 6 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ R2 −2C5 R3 +C5 R4 −3C5 ========= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 2 4 1 0 −2 −1 −11 −9 0 4 6 8 12 0 1 0 −13 −18 1 0 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ··· = 900 倪卫明 第四讲 行列式