高维微分学——曲面向量值映照 复旦力学谢锡麟 016年3月15日 1知识要素 11曲面的切平面与法向量 定义1.1(曲面).一般地,m+1维 Euclid空间中的m维曲面可以由以下向量值映照给出 ∑(xy):RDx3m= +∑(xy)全 xn(ag)∈Rm+1, +1 如图1所示 r-曲线 曲线 图1:有限维 Euclid空间中曲面向量值映照示意 该曲面∑(xy)的 Jacobi矩阵可以表示为 D∑(xx)= ∈R(m+1)xm a∑m+1 0∑m ax dxf
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——曲面向量值映照 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 曲面的切平面与法向量 定义 1.1 (曲面). 一般地, m + 1 维 Euclid 空间中的 m 维曲面可以由以下向量值映照给出 Σ(xΣ) : R m ⊃ Dx ∋ xΣ = x 1 Σ . . . x m Σ 7→ Σ(xΣ) , X1 . . . Xm Xm+1 (xΣ) ∈ R m+1 , 如图1所示. X1 Xm Xm+1 O xm Σ -曲线 x 1 Σ-曲线 g1 gm n g1 gm n g1 gm n g1 gm n O x 1 Σ . . . x m−1 Σ xm Σ 图 1: 有限维 Euclid 空间中曲面向量值映照示意 该曲面 Σ(xΣ) 的 Jacobi 矩阵可以表示为 DΣ(xΣ) = ∂Σ1 ∂x1 Σ · · · ∂Σ1 ∂xm Σ . . . . . . ∂Σm+1 ∂x1 Σ · · · ∂Σm+1 ∂xm Σ ∈ R (m+1)×m, 1
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 令DXx)=(91(x) 其中 ∑( 9(xx) 入 (cy)∈R O∑m+1 称为曲面∑(xx)在x点处沿坐标线x的切向量 使得D∑(xx)为列满秩的点称为正则点 定义1.2(切空间).在曲面∑(xx)的正则点处,切向量{g}1张成的空间称为切空间,记 作Txx∑ x222()=x(x) Xth 图2:曲面上曲线示意 曲面上的曲线在参数空间可以表示为如下映照(如图2所示 F:a,月3入以2(=z4、/x3 ∈R (入 而该曲线在Rm+1空间可以表示为 F(≡X(=∑ox())=∑(xx(入) 其切向量可以表示为 T(入) (A)全1imx(+△A)-X(x) D(x2)2(A)=2()g1(x(X)∈T2E 即曲面上曲线的切向量一定落在该曲面的切空间中
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 令 DΣ(xΣ) = ( g1 (xΣ) · · · gm(xΣ) ) , 其中 gi (xΣ) , lim λ→0∈R Σ(xΣ + λii) − Σ(xΣ) λ = ∂Σ1 ∂xi Σ . . . ∂Σm+1 ∂xi Σ (xΣ) ∈ R m+1 称为曲面 Σ(xΣ) 在 xΣ 点处沿坐标线 x i Σ 的切向量. 使得 DΣ(xΣ) 为列满秩的点称为正则点. 定义 1.2 (切空间). 在曲面 Σ(xΣ) 的正则点处, 切向量 {gi} m i=1 张成的空间称为切空间, 记 作 TxΣ Σ. x 1 Σ x i Σ xm Σ O DxΣ ΓxΣ (λ) = xΣ(λ) = x 1 Σ . . . xm Σ (λ) λ a λ b Γx O X1 Xm Xm+1 Σ(xΣ) = X(xΣ(λ)) = X1 . . . Xm+1 (xΣ(λ)) =: Γ(λ) Σ 图 2: 曲面上曲线示意 曲面上的曲线在参数空间可以表示为如下映照 (如图2所示): ΓxΣ : [α, β] ∋ λ 7→ ΓxΣ (λ) ≡ xΣ(λ) = x 1 Σ(λ) . . . x m Σ (λ) ∈ R m, 而该曲线在 R m+1 空间可以表示为 Γ(λ) ≡ X(λ) = Σ ◦ ΓxΣ (λ) = Σ(xΣ(λ)), 其切向量可以表示为 τ (λ) = dX dλ (λ) , lim ∆t→0∈R X(λ + ∆λ) − X(λ) ∆λ = DΣ(xΣ) dxΣ dλ (λ) = ˙x i Σ(λ)gi (xΣ(λ)) ∈ TxΣ Σ, 即曲面上曲线的切向量一定落在该曲面的切空间中. 2
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 性质1.1(正则点法向量的唯一存在性).对曲面上的正则点,存在且唯一存在同正则点的正 交的法向量 证明考虑到(m(xx),92(axy)gm+1=0,i=1,…,m等价于 (x)n(x)=(D∑)(xs)n(x)=0∈R 由于rank(D∑)(xx)=m,按齐次线性方程组理论,n∈Rm+1的方向唯一确定 基于法向量,正则点∑(xx)处的切空间可有如下的集合表示 TIsE=XI(X-2(ax), n()Rm+1=0 亦即有 (X1-∑(xx)n(x)+…(Xm+1-mn+(xx)nmn+l(xx)=0 12曲面的基本形式 定义13(曲面第一基本形式).由9(xx)=(91(xx),9(cx)em+1构成的m×m矩阵 911(ay) G(as) D∑1(xy)Dx(xx)∈Rmxm, 9m1(∑ gmm(ay) 称为曲面∑(x)的第一基本形式 性质1.2(曲面第一基本形式的对称性与正定性).曲面的第一基本形式矩阵G是对称矩阵; 在曲面的正则点处,曲面的第一基本形式矩阵G是对称正定矩阵 证明由内积的对称性,矩阵G的对称性是显然的 下面证明正定性.设∈Rm,则有 GE=Dx1DE=(D∑)(D∑) 1D∑El最m=(91)2≥ 在曲面的正则点处,有 rank>(xx)=m,即{g;(x)}m1线性无关.所以当EIG=(sg1)2= 0时,必然有ξ=0,i=1,……,m,即￡=0.因此矩阵G是对称正定矩阵 定义1.4(曲面的第二基本形式).令 ()=(bn(a),n() 9j(∑
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 性质 1.1 (正则点法向量的唯一存在性). 对曲面上的正则点，存在且唯一存在同正则点的正 交的法向量. 证明 考虑到 (n(xΣ), gi (xΣ))Rm+1 = 0, i = 1, · · · , m 等价于 g T 1 . . . g T m (xΣ)n(xΣ) = (DΣ) T(xΣ)n(xΣ) = 0 ∈ R m, 由于 rank(DΣ) T(xΣ) = m, 按齐次线性方程组理论, n ∈ R m+1 的方向唯一确定. 基于法向量, 正则点 Σ(xΣ) 处的切空间可有如下的集合表示 TxΣ Σ = {X |(X − Σ(xΣ), n(xΣ))Rm+1 = 0}, 亦即有 ( X1 − Σ 1 (xΣ) ) n 1 (xΣ) + · · · ( Xm+1 − Σ m+1(xΣ) ) n m+1(xΣ) = 0. 1.2 曲面的基本形式 定义 1.3 (曲面第一基本形式). 由 gij (xΣ) = (gi (xΣ), gj (xΣ))Rm+1 构成的 m × m 矩阵 G(xΣ) = g11(xΣ) · · · g1m(xΣ) . . . . . . gm1(xΣ) · · · gmm(xΣ) = DΣT(xΣ)DΣ(xΣ) ∈ R m×m, 称为曲面 Σ(xΣ) 的第一基本形式. 性质 1.2 (曲面第一基本形式的对称性与正定性). 曲面的第一基本形式矩阵 G 是对称矩阵; 在曲面的正则点处, 曲面的第一基本形式矩阵 G 是对称正定矩阵. 证明 由内积的对称性, 矩阵 G 的对称性是显然的. 下面证明正定性. 设 ∀ ξ ∈ R m, 则有 ξ TGξ = ξ TDΣTDΣξ = (DΣξ) T(DΣξ) = |DΣξ| 2 Rm = (ξ i gi ) 2 > 0. 在曲面的正则点处, 有 rankDΣ(xΣ) = m, 即 {gi (xΣ)} m i=1 线性无关. 所以当 ξ TGξ = (ξ igi ) 2 = 0 时, 必然有 ξ i = 0, i = 1, · · · , m, 即 ξ = 0. 因此矩阵 G 是对称正定矩阵. 定义 1.4 (曲面的第二基本形式). 令 bij (xΣ) = ( ∂gj ∂xi Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = − ( gj (xΣ), ∂n ∂xi Σ ) Rm+1 , 3
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 并引入m×m矩阵 bum(as) =-D∑1(xx)·Dm(xy)∈Rmxm, 称为曲面∑(xy)的第二基本形式 性质13(曲面的第二基本形式的对称性).曲面的第二基本形式矩阵B是对称矩阵. 证明考虑到 y(2)=(an(m),n() ansar (as),n(as) ag bji (as) 所以曲面第二基本形式B是对称矩阵 13曲面的 Gauss曲率与平均曲率 首先引入线性代数中一个重要结论 引理14(同时对角化).设有对称正定矩阵A∈R×m和对称矩阵B∈Rm×m,则一定唯 存在一个非奇异的矩阵S∈Rmxm满足 SAS=Im s BS 式中,Im为m阶单位矩阵,λ满足det(B-A1A)=0,t=1,…,m. 证明由于A是对称矩阵,因此一定唯一存在一个正交矩阵QA,使得 QAAQA=4A 其中,a1,…,am是A的特征值.因为A是正定矩阵,所以它所有的特征值都是正的.记
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 并引入 m × m 矩阵 B(xΣ) = b11(xΣ) · · · b1m(xΣ) . . . . . . bm1(xΣ) · · · bmm(xΣ) = −DΣT(xΣ) · Dn(xΣ) ∈ R m×m, 称为曲面 Σ(xΣ) 的第二基本形式. 性质 1.3 (曲面的第二基本形式的对称性). 曲面的第二基本形式矩阵 B 是对称矩阵. 证明 考虑到 bij (xΣ) = ( ∂gj ∂xi Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = ( ∂ 2Σ ∂xi Σ ∂xj Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = bji(xΣ), 所以曲面第二基本形式 B 是对称矩阵. 1.3 曲面的 Gauss 曲率与平均曲率 首先引入线性代数中一个重要结论. 引理 1.4 (同时对角化). 设有对称正定矩阵 A ∈ R m×m 和对称矩阵 B ∈ R m×m, 则一定唯 一存在一个非奇异的矩阵 S ∈ R m×m 满足 S TAS = Im, S TBS = λ1 . . . λm . 式中, Im 为 m 阶单位矩阵, λi 满足 det(B − λiA) = 0, i = 1, · · · , m. 证明 由于 A 是对称矩阵, 因此一定唯一存在一个正交矩阵 QA, 使得 QT AAQA = ΛA = a1 . . . am , 其中, a1, · · · , am 是 A 的特征值. 因为 A 是正定矩阵, 所以它所有的特征值都是正的. 记 Λ 1 2 A = a 1 2 1 . . . a 1 2m , 4
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 则有QAQA=A3A,即 (1)-QAAQ4(11)-1=Im, 因此令SA=QA(A3)-1,有SAAA=Im 令B=SBSA,因为B是对称矩阵,所以B也是对称矩阵,而且唯一存在一个正交矩阵 QB,满足 QBBQB=AB 式中,A1…,Mm是B的特征值,满足det(B-MIm)=0,i=1,…,m.也就是 QBSABSAQB 此处令S=SAQB=QA(A4)-1QB,即有 s BS= 而且 STAS=QBSAASAQB=QRImQB=I λ满足 det(B-AiIm)=det(SABSA-AiSAASa)=det(SA(B-XiA)SA=0, 即det(B-AA)=0. 定义1.5(曲面Gaus曲率及平均曲率).根据同时对角化定理,曲面第一基本形式G是对 称正定矩阵,曲面第二基本形式B是对称矩阵,因此唯一存在一个非奇异矩阵S∈Rmxm,使得 SGS=Im SBS 此处入满足det(B-入G)=0,讠=1,…,m.由此,可作 KG=lA=det(- B) det B det g H=∑A=t(G1B 式中KG称为 Gauss曲率,H称为平均曲率
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 则有 QT AAQA = Λ 1 2 AΛ 1 2 A , 即 (Λ 1 2 A ) −1QT AAQA(Λ 1 2 A ) −1 = Im, 因此令 SA = QA(Λ 1 2 A ) −1 , 有 S T AASA = Im. 令 Be = S T ABSA, 因为 B 是对称矩阵, 所以 Be 也是对称矩阵, 而且唯一存在一个正交矩阵 QB, 满足 QT BBQe B = ΛBe = λ1 . . . λm , 式中, λ1, · · · , λm 是 Be 的特征值, 满足 det(Be − λiIm) = 0, i = 1, · · · , m. 也就是 QT BS T ABSAQB = λ1 . . . λm . 此处令 S = SAQB = QA(Λ 1 2 A ) −1QB, 即有 S TBS = λ1 . . . λm , 而且 S TAS = QT BS T AASAQB = QT BImQB = Im. λi 满足 det(Be − λiIm) = det(S T ABSA − λiS T AASA) = det[S T A(B − λiA)SA] = 0, 即 det(B − λiA) = 0. 定义 1.5 (曲面 Gauss 曲率及平均曲率). 根据同时对角化定理, 曲面第一基本形式 G 是对 称正定矩阵, 曲面第二基本形式 B 是对称矩阵, 因此唯一存在一个非奇异矩阵 S ∈ R m×m, 使得 S TGS = Im, S TBS = λ1 . . . λm . 此处 λi 满足 det(B − λiG) = 0, i = 1, · · · , m. 由此, 可作 KG = ∏m i=1 λi = det(G−1B) = det B det G H = ∑m i=1 λi = tr(G−1B) , 式中 KG 称为 Gauss 曲率, H 称为平均曲率. 5