行列式 任意排列总可以通过一系列对换两个数,将它变换成标准排列 123…n.若总的对换次数为偶数,则称它为偶排列,若对换次数 是奇数,则称为奇排列 任意n级排列的逆序数的奇偶性与将它变换成标准排列所用对 换次数的奇偶性一致,為什么? 例如:6级排列365241通过对换3,1得165243,对换6,2得 125643,对换5,3得123645,对换6,4得123465,对换6,5得 123456,总计对换5次,它是奇排列
行列式 任意排列总可以通过一系列对换两个数, 将它变换成标准排列 123···n. 若总的对换次数为偶数, 则称它为偶排列, 若对换次数 是奇数, 则称为奇排列. 任意 n 级排列的逆序数的奇偶性与将它变换成标准排列所用对 换次数的奇偶性一致, 為什么? 例如: 6 级排列 365241 通过对换 3, 1 得 165243, 对换 6, 2 得 125643, 对换 5, 3 得 123645, 对换 6, 4 得 123465, 对换 6, 5 得 123456, 总计对换 5 次, 它是奇排列. 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 若用下列这些表达式表示行列式是否可行?為什么? 11a22 y (2)i1i2…i是某个取定的n级排列 a1 a22 ain a21a22 ∑(-1)数动)+(i-动)
行列式 若用下列这些表达式表示行列式是否可行? 為什么? (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a22 ··· a1n a21 a22 ··· a2n ··· ··· ··· ··· an1 an2 ··· ann ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = X i1i2···in∈P (−1) τ(i1i2···in) ai11ai22 ···ainn (2) i1i2 ···in 是某个取定的 n 级排列. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a22 ··· a1n a21 a22 ··· a2n ··· ··· ··· ··· an1 an2 ··· ann ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = X j1j2···jn∈P (−1) τ(i1i2···in)+τ(j1j2···jn) ai1j1 ai2j2 ···ainjn 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 (3)j…in是某个取定的n级排列 a11 a22 a21a22 a2n ∑(-1))+0b-1)ana2…an
行列式 (3) j1j2 ···jn 是某个取定的 n 级排列. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a22 ··· a1n a21 a22 ··· a2n ··· ··· ··· ··· an1 an2 ··· ann ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = X i1i2···in∈P (−1) τ(i1i2···in)+τ(j1j2···jn) ai1j1 ai2j2 ···ainjn 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 行列式性质:设AB为n阶方阵,则 (1)A=A (2)交换矩阵A的两行(或两列)所得矩阵为Aj(或A),则 (3)若矩阵A中存在两行(列)对应元素相等,则A|=0 (4)若对矩阵A的某行(列)数乘常数k后,其行列式等于kA (5)若矩阵A的某一行(列)元素全为0,则A|=0 (6)若矩阵A的某两行(列)对应元素成比例,则A|=0 (7)行列式的分行(列)相加性 (8)若对矩阵A实施初等变换F;(k),则变换前后行列式的值不 ()lABI=lA].|BI
行列式 行列式性质: 设 A,B 为 n 阶方阵, 则 (1) |A| = ¯ ¯A T ¯ ¯ . (2) 交换矩阵 A 的 i,j 两行(或两列)所得矩阵为 Aij (或 A ij ¯ ), 则 ¯Aij ¯ ¯ = −|A|. (3) 若矩阵 A 中存在两行(列)对应元素相等, 则 |A| = 0. (4) 若对矩阵 A 的某行(列)数乘常数 k 后, 其行列式等于 k|A|. (5) 若矩阵 A 的某一行(列)元素全为 0, 则 |A| = 0. (6) 若矩阵 A 的某两行(列)对应元素成比例, 则 |A| = 0. (7) 行列式的分行(列)相加性. (8) 若对矩阵 A 实施初等变换 Fij(k), 则变换前后行列式的值不 变. (9) |AB| = |A|·|B|. 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 性质(9)证明 设A={a]nxnB={bnmn均是n阶方阵,构造2n阶方阵 B 设是所有2n级排列构成的集合,根据行列式定义有: a 0 det(c)= ∑(-1b LnB边2-1in1h2-n CiC2i… Cn, i, Cn+1inCn+2,i+2…C2nin 排列i…jnn+1in+2…n中的…n对应的是矩阵C中前n 行中相应列的排列,显然五,,…m分别取值1,2,…,n中的值 若存在某个j(k≤m)取值大于n,则相应的Ck=0,整个乘积 项取值0
行列式 性质(9)证明: 设 A = £ aij¤ n×n , B = £ bij¤ n×n 均是 n 阶方阵, 构造 2n 阶方阵: C = £ Cij¤ 2n×2n = · A 0 −In B ¸ 设 P 是所有 2n 级排列构成的集合, 根据行列式定义有: det(C) = ¯ ¯ ¯ ¯ A 0 −In B ¯ ¯ ¯ ¯ = X j1j2···jnjn+1jn+2···j2n∈P (−1) τ(j1j2···jnjn+1jn+2···j2n) C1,j1C2,j2 ···Cn,jnCn+1,jn+1Cn+2,jn+2 ···C2n,j2n 排列 j1j2 ···jnjn+1jn+2 ···j2n 中的 j1j2 ···jn 对应的是矩阵 C 中前 n 行中相应列的排列, 显然 j1,j2,...,jn 分别取值 1, 2,...,n 中的值, 若存在某个 jk (k ≤ n) 取值大于 n, 则相应的 Ck,jk = 0, 整个乘积 项取值0. 倪卫明 第四讲 行列式