为了找到对应的代数关系,将BC两点 联接起来,得到图4.5。运用余弦定理,可 以列出:|m-2=1+N=2so 移项后,得到 Jull. / 0=5 u 2 n2+ah2++n2-(mn=n1)2-(2-n2)2 11+u2V2 由此可见 u·V=11V1+21 这个乘积的也称 为‘内积’,用<U,v>表示。用列矩阵表示 向量u和v,则可以写成 uV=1n+2V2=1l2 uV=<UVI (4-1)
为了找到对应的代数关系，将BC两点 联接起来，得到图4.5。运用余弦定理，可 以列出： 移项后，得到 由此可见 。这个乘积的也称 为‘内积’，用<u,v>表示。用列矩阵表示 向量u和v，则可以写成 （4-1） 2 2 2 u v u v u v − = + − 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 cos 2 1 ( ) ( ) 2 u u v v u v u v u v u v = + − − = + + + − − − − = + u v u v u v 1 1 2 2 u v = + u v u v 1 1 1 2 2 1 2 2 < , > v u v u v u u v = + = = = T u v u v u v
向量的数量积有如下特性,读者可自行证 明 1)u·u≥0 2) uV=Vu 3)u(cv)=c(uv) 4)u(V+w)=uv+uw 利用向量的数量积的关系,可以得出以下 的几个重要结果: 1)向量的几何长度(今后称范数): norm(v Vv+V2+v3=VV=√<v,V>
向量的数量积有如下特性，读者可自行证 明： 1) 2) 3) 4) 利用向量的数量积的关系，可以得出以下 的几个重要结果： 1)向量的几何长度（今后称范数）： u u 0 u v v u = u v u v = ( ) ( ) c c u v w u v u w + = + ( ) v = v = + + = v v = v v T ( ) , 2 3 2 2 2 1 norm v v v
2)两向量u,v之间的夹角: u·V IV (4-2) 3)由于-1≤c0s≤1,则 这个式 子称为 Cauchy-Schwarz不等式。 4)两向量u,v垂直的条件为:cosO=0,即 uv=<u.v>=0 5)范数为1的向量称为单位向量,向量v的单 位向量为 lv‖norm(v)
2)两向量u, v之间的夹角： （4-2） 3)由于-1≤cosθ≤1, 则 ， 这个式 子称为Cauchy-Schwarz不等式。 4)两向量u, v垂直的条件为： ，即 5)范数为1的向量称为单位向量，向量v的单 位向量为 cos T T T = = u v u v u v u u v v u v u v cos 0 = = = , 0 T u v u vnorm( ) = = v v u v v
4.2.4向量与向量的向量积 向量积的定义:两向量u,v的叉乘是一个新 向量z,它的方向与u,V正交,按右手法则 确定它的方向,即令右手食指沿u,弯曲的 中指指v,则拇指指z的方向。其大小为: Iz=luxi=ull. visine 它的几何意义非常明显,是两个向量构成 的平行四边形的面积,图4.6中的h就是 h=lysin 0
4.2.4 向量与向量的向量积 向量积的定义：两向量u, v的叉乘是一个新 向量z，它的方向与u, v正交，按右手法则 确定它的方向，即令右手食指沿u，弯曲的 中指指v，则拇指指z的方向。其大小为： 它的几何意义非常明显，是两个向量构成 的平行四边形的面积，图4.6中的h就是 z u v u v = = sin h = v sin
图46向量积的三角关系 对于三维空间的向量u和v,叉乘如下: 1 V=I v v1-1y3 向量积有如下的代数特性,读者可自行证
图4.6 向量积的三角关系 对于三维空间的向量u和v，叉乘如下： 向量积有如下的代数特性，读者可自行证 明： 1 1 2 2 3 3 , , u v u v u v = = u v 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v − = − − u v