1) u×Ⅴ三—V×u 2)uxu=0 3)(cu)XV=uX(cv)=c(uxv) 4)ux(v+w)=uxv+uxw w(u×v)=wZ称为,它是 标量。 W·(u×V)=W·Z l2V3-2y2w22 2W343n1-2413 u u2 u3 12-l21 VI V2 V3 =w(22-22)+12(21-43)+3(u42-2) (4-3)
1) 2) 3) 4) 称为向量的混合乘积，它是一 个标量。 (4-3) u v v u = − u u 0 = ( ) ( ) ( ) c c c u v u v u v = = u v w u v u w + = + ( ) w u v w z = ( ) 2 3 3 2 1 2 3 1 2 3 3 1 1 3 1 2 3 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) u v u v w w w w w w u v u v u u u u v u v v v v w u v u v w u v u v w u v u v = − = − = − = − + − + − T w u v w z
图48空间向量组成平行六面体 由图4.8不难看出它的几何意义。 两向量x,y点乘的 MATLAB命令为 f=dotx,y),两向量x,y叉乘的 MATLAB命令 为z= crossi(x,y)。这两个命令在线性代数中 不太用,不作深入介绍
图4.8 空间向量组成平行六面体 由图4.8不难看出它的几何意义。 两向量x, y点乘的MATLAB命令为 f=dot(x,y)，两向量x, y叉乘的MATLAB命令 为z=cross(x,y)。这两个命令在线性代数中 不太用，不作深入介绍
4.3平面和空间(和)的向量空间 4.3.1平面和空间向量的线性相关性 例4.2取例4.1中的u和v,设平面上的向量 W=1.5u+2v,则可求得 2 39 w=1.5 +2 4 14 可见,u和v经过数乘和加法运算的合成向量 W仍然在原来的二维空间之内。向量经过加 法和数乘仍在原R2空间内的特性称为‘对加 法和数乘的封闭性’,u和v所有线性组合构 成的向量w的集合W也称为u和v张成(Span) 的线性空间
4.3 平面和空间（ ）的向量空间 4.3.1 平面和空间向量的线性相关性 例4.2 取例4.1中的u和v，设平面上的向量 w=1.5u+2v，则可求得 可见，u和v经过数乘和加法运算的合成向量 w仍然在原来的二维空间之内。向量经过加 法和数乘仍在原 空间内的特性称为‘对加 法和数乘的封闭性’，u和v所有线性组合构 成的向量w的集合W也称为u和v张成(Span) 的线性空间。 2 3 9 1.5 2 4 1 4 = + = − w 2 3 R R 和 2 R
10 u1=1.5 10 图4.9向量u,V线性组合成向量w 可以提出一个反问题,平面上的任何 点[w;]是不是一定能用u和v的线性组 合来实现?即是否一定能找到一组常数 a1,c2],使得 2 3 + C2 4
图4.9 向量u,v线性组合成向量w 可以提出一个反问题，平面上的任何 一点[ ; ]是不是一定能用u和v的线性组 合来实现？即是否一定能找到一组常数 [ , ]，使得 1 1 2 2 2 3 4 1 w c c w + = − w1 w2 1 c 2 c
要回答这个问题,只要解这个二元方程 组就行了。把它写成矩阵形式,有: 23c1 →Ac=w 4-1‖c2 其中,系数矩阵A=[u,v],由于det([u,v) 不为零,C和C2是肯定可以求出的。但并非 任何u和V都能达到这个要求
要回答这个问题，只要解这个二元方程 组就行了。把它写成矩阵形式，有： 其中，系数矩阵A=[u, v]，由于det ([u, v]) 不为零， 和 是肯定可以求出的。但并非 任何u和v都能达到这个要求。 1 1 2 2 2 3 4 1 c w c w = − Ac = w 2 c 1 c