§3.2可测函数的收敛性 教学目的可测函数列可以定义各种收敛性.本节讨论几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛.几种收敛性之间存在一些蕴涵关系.通过本节 的学习,可以使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的 本节要点本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性 特别是依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异 Egorov定理和 Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz定理在几乎 处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁 以下所有的讨论都是在某一固定的测度空间(X,分,4)上进行的 几乎处处成立的性质设P(x)是一个与x有关的命题.若存在一个零测度集N,使得当 x∈X-N时P(x)成立(换言之,{x:P(x)不成立}cN),则称P(x)(关于测度)几乎处 处成立.记为P(x)-ae.,或者P(x)ae 在上面的定义中,若P(x)几乎处处成立,则集{x:P(x)不成立}包含在一个零测度集 内.若{x:P(x)不成立}是可测集,则由测度的单调性知道p({x:P(x)不成立})=0 显然,若(X,,)是完备的测度空间,则P(x)几乎处处成立当且仅当 ({x:P(x)不成立})=0 例1设给定两个函数∫和g.若存在一个零测度集N,使得当xN时 f(x)=g(x),则称∫和g几乎处处相等,记为f=gae 例2设∫为一广义实值函数若存在一个零测度集N,使得当xgN时<+∞,则 称∫是几乎处处有限的,记为f(<+∞,ae 可测函数的几种收敛性设E是X的子集.f,n(n≥1)定义在E上的函数.若对任 意E>0,存在N>0,使得当n≥N时,对一切x∈E成立(x)-f(x)<E,则称{n} 在E上一致收敛于f,记为fn→fun 定义1设为{fn}一可测函数列,∫为一可测函数 (1)若存在一个零测度集N,使得当xgN时,有limn(x)=∫(x),则称{fn}几乎处 处收敛于f,记为 lim f,=∫ae,或fn->f
76 §3.2 可测函数的收敛性 教学目的 可测函数列可以定义各种收敛性. 本节讨论几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛. 几种收敛性之间存在一些蕴涵关系. 通过本节 的学习, 可以使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的 了解. 本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和 Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎 处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. 以下所有的讨论都是在某一固定的测度空间(X, F ,µ) 上进行的. 几乎处处成立的性质 设 P(x)是一个与 x 有关的命题. 若存在一个零测度集 N, 使得当 x ∈ X − N 时 P(x)成立(换言之, {: () x P x 不成立}⊂ N ), 则称 P(x)(关于测度 µ )几乎处 处成立. 记为 P(x) µ − a.e., 或者 P(x) a.e. 在上面的定义中, 若 P(x)几乎处处成立, 则集{x : P(x)不成立}包含在一个零测度集 内. 若{x : P(x)不成立}是可测集, 则由测度的单调性知道µ({ : ( ) }) 0. x Px 不成立 = 显 然 , 若 (X , F , µ) 是完备的测度空间 , 则 P(x) 几乎处处成立当且仅当 µ({x : P(x)不成立}) = 0. 例 1 设给定两个函数 f 和 g . 若存在一个零测度集 N , 使得当 x ∉ N 时 f (x) = g(x), 则称 f 和 g 几乎处处相等, 记为 f = g a.e. 例 2 设 f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集 N , 使得当 x ∉ N 时 f < +∞, 则 称 f 是几乎处处有限的, 记为 f < +∞, a.e. 可测函数的几种收敛性 设 E 是 X 的子集. f , f (n ≥ 1) n 定义在 E 上的函数. 若对任 意ε > 0, 存在 N > 0, 使得当 n ≥ N 时, 对一切 x ∈ E 成立 f (x) − f (x) < ε , n 则称{ }n f 在 E 上一致收敛于 f , 记为 f f un.. n → 定义 1 设为{ }n f 一可测函数列, f 为一可测函数. (1) 若存在一个零测度集 N, 使得当 x ∉ N 时, 有 lim f (x) f (x) n n = →∞ , 则称{ }n f 几乎处 处收敛于 f , 记为 f f n n = →∞ lim a.e., 或 f f n →a.e.
(2)若对任给的E>0,总有 im1{fn-≥E}=0 则称{fn}依测度收敛于∫,记为∫n-“>f (3)若对任给的δ>0,存在可测集E8,(EB)<d,使得{n}在X-E上一致收 敛于f则称{fn}几乎一致收敛于,记为imfn=∫aun.或fn-→f 容易证明,若将两个ae相等的函数不加区别,则上述几种极限的极限是唯一的.例如 若f>f,fn-)g,则∫=gae.其证明留作习题 例3设(0,+∞),2([0,+∞),m)为区间[0,+∞)上的 Lebesgue测度空间.其中 (0,+∞)是[0,+∞)上的L可测集所成的a-代数,m是R上的L测度在[0,+∞)上的 限制.令 f(x)=1-l1(x),n≥1 则对任意x>0,fn(x)→>0(n→∞).当x=0时f(x)不收敛于0.但m(0})=0,因此 在0+)上一“0由于对E= m12)=m(0.nU[n+∞)=+∞-0,(m→+∞) 因此{〃n}不依测度收敛于0.这个例子表明在一般情况下,几乎处处收敛不一定能推出依测 度收敛 例4设([0,1,([0.1),m)是[0,1上的 Lebesgue测度空间.令 fn(x)=x",n≥1 则对任意>0,{fn}在[O,1-6]上一致收敛于0.由于m(1-o,1])=6可以任意小,因 此∫n->0.又显然∫n—>0 例5设(D,1],([0,),m)是[0,1上的 Lebesgue测度空间.令 ],t=1, 0 图2
77 (2) 若对任给的ε > 0, 总有 lim { − ≥ } = 0. →+∞ µ f f ε n n 则称{ }n f 依测度收敛于 f , 记为 f f . n →µ (3) 若对任给的δ > 0 , 存在可测集 Eδ , µ(Eδ ) < δ , 使得{ }n f 在 X − Eδ 上一致收 敛于 f, 则称{ }n f 几乎一致收敛于 f, 记为 f f n n = →∞ lim a.un. 或 f f n a..un. → . 容易证明, 若将两个 a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限是唯一的. 例如, 若 , a.e. f f n → f n → g a.e. , 则 f = g a.e.. 其证明留作习题. 例 3 设 ([0,+∞), M ([0,+∞)), m) 为区间 [0, + ∞) 上的 Lebesgue 测度空间. 其中 M ([0,+∞)) 是[0,+ ∞) 上的 L 可测集所成的σ -代数, m 是 1 R 上的 L 测度在[0, + ∞) 上的 限制. 令 ( ) 1 ( ), 1. , ) 1 ( f x = − I x n ≥ n n n 则对任意 x > 0, f (x) → 0(n → ∞). n 当 x = 0时 f (x) n 不收敛于 0. 但m({0}) = 0, 因此 在[0, + ∞) 上 0. →a.e. n f 由于对 , 2 1 ε = / 1 1 ({ }) ([0, ] [ , )) 0, ( ). 2 mf m n n n n ≥ = ∪ +∞ = +∞ → → +∞ 因此{ }n f 不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不一定能推出依测 度收敛. 例 4 设([0, 1], M ([0,1]), m)是[0, 1]上的 Lebesgue 测度空间. 令 f (x) = x , n ≥ 1. n n 则对任意δ > 0 , { }n f 在[0, 1− δ ] 上一致收敛于 0 .由于 m((1−δ , 1]) = δ 可以任意小, 因 此 0 f n a..un. → . 又显然 0. →a.e. n f 例 5 设([0, 1], M ([0,1]), m)是[0, 1]上的 Lebesgue 测度空间. 令 , ], 1, , , 1. 1 [ = ≥ − = i n n n i n i Ai n " 图 2—1 (1) A3 0 1 X 2 (1) 1 A2 (2) A2 (2) A3 (3) A3 3 1 3 2
(图2-1)将{A}先按照n后按照i的顺序重新编号记为{En}.显然m(En)→>0.令 f(x)=IE(x),n21, f(x)=0 对任意E>0,由于 m(n26})=m(E)→0,n→ 故{fn}依测度收敛于∫.但{fn}在[0,1上处处不收敛.事实上,对任意x∈[0,1,必有 无穷多个En包含x0,也有无穷多个En不包含x0.故有无穷多个n使得fn(x0)=1,又有 无穷多个n使得∫n(x0)=0.因此{fn}在x0不收敛.这个例子表明依测度收敛不能推出几 乎处处收敛.例3和例4表明,依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大 几种收敛性之间的关系为叙述简单计,以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明) 引理2设川(X)<+∞.若fn->∫.则对任意E>0有 im(U:-f2;)=0 证明设E>0是一给定的正数.任取x∈X,若对任意n≥1,存在1≥n,使得 J(x)-f(x)2E.则n(x)不收敛于f(x).这表明 ∩U8-f≥e}c{x:f(x)4→f(x) 由于∫n->f,因此由上式知道 ∩U-≥c:|=0 由于(X)<+∞,由测度的上连续性,我们有 l4Uu-)-Uu-n2)-0 nel ien 容易证明,若fn>f,则∫n>f(其证明留作习题)下面的定理表明当 (X)<+∞时,其逆也成立 定理3(叶戈洛夫)若(X)<+∞,则∫n一→∫蕴涵∫-二>∫. 证明设山(X)<+∞,fn-→∫.由引理2,对任意E>0,有 lim ①u=2a)-0 于是对任意的d>0和自然数k≥1,存在自然数n使得
78 (图 2—1)将{ } i An 先按照 n 后按照i 的顺序重新编号记为{ } En . 显然 ( ) → 0. m En 令 f (x) I (x) n En = , n ≥ 1, f (x) = 0. 对任意ε > 0, 由于 m({ f − f ≥ }) = m(E ) → 0, n → ∞. n n ε 故{ }n f 依测度收敛于 f . 但{ }n f 在[0, 1]上处处不收敛. 事实上, 对任意 [0, 1] x0 ∈ , 必有 无穷多个 En 包含 0 x , 也有无穷多个 En 不包含 0 x . 故有无穷多个 n 使得 ( ) 1, f n x0 = 又有 无穷多个 n 使得 ( ) 0. f n x0 = 因此{ }n f 在 0 x 不收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几 乎处处收敛. 例 3 和例 4 表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大. 几种收敛性之间的关系 为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注 1 的说明). 引理 2 设 µ(X ) < +∞. 若 . a.e. f f n → 则对任意ε > 0有 lim ( { − ≥ }) = 0. ∞ = →∞ ∪ i n i n µ f f ε 证明 设 ε > 0 是一给定的正数. 任取 x ∈ X , 若对任意 n ≥ 1, 存在 i ≥ n, 使得 f (x) − f (x) ≥ ε. i 则 f (x) f (x) n 不收敛于 . 这表明 ∩∪ ∞ = ∞ = − ≥ 1 { } n n i i f f ε {x : f (x) / f (x)}. ⊂ n → 由于 , a.e. f f n → 因此由上式知道 { } 0. 1 = − ≥ ∞ = ∞ = ∩∪ n n i i µ f f ε 由于 µ(X ) < +∞, 由测度的上连续性, 我们有 lim { } { } 0 1 = = − ≥ − ≥ ∞ = ∞ = ∞ = →∞ ∪ ∩∪ n n i i i n i n µ f f ε µ f f ε . ■ 容易证明, 若 , a..un. f f n → 则 f f n →a.e. (其证明留作习题). 下面的定理表明当 µ(X ) < +∞时, 其逆也成立. 定理 3 (叶戈洛夫)若 µ(X ) < +∞, 则 f f n →a.e. 蕴涵 . a..un. f f n → 证明 设 µ(X ) < +∞, . a.e. f f n → 由引理 2 , 对任意ε > 0, 有 lim { } = 0. − ≥ ∞ = →∞ ∪ i n i n µ f f ε 于是对任意的δ > 0 和自然数 k ≥ 1, 存在自然数 nk 使得
U-n≥2 令E=UU-八12由测度的次可数可加性我们有 往证在E上,{fn}一致收敛于∫.事实上,由 De morgan公式得 E=n∩4-八<kc∩-<k,k21 (1) 对任意E>0取k足够大使得<E.则由(1)式知道当1≥n时对一切x∈E,有 (x)-f(x)<k<E.即在E上}一致收敛于f这就证明了一) 注2在叶戈洛夫定理中,条件(X)<+不能去掉例如,若令fn(x)=l1m+(x) n≥1.则{fn}在R上处处收敛于0.但容易知道{fn}不是几乎一致收敛于0 定理4若川(X)<+∞,则∫n—些>∫蕴涵fn 证明设(X)<+∞,fn>f.由引理2,对任意E>0有 Ui,-f 由测度的单调性立即得到 m(G-2)=lm心U-2e|=0 即f 本节例3表明,在定理4中,条件(X)<+∞不能去掉 定理5(Res2)若f→>f,则存在{fn}的子列{mn},使得4) 证明设∫n“>∫.对任意E>0和d>0,存在N≥1,使得当n≥N时,有 H({fn-1≥})<6 于是对任意自然数k≥1,存在自然数n,使得
79 . 2 }1 { k i n i k k f f δ µ < − ≥ ∞ = ∪ 令 }. 1 { 1 ∪∪ ∞ = ∞ = = − ≥ k n i i k k E f f δ 由测度的次可数可加性我们有 . 2 }1 ( ) { 1 1 δ δ µ δ µ ≤ = ≤ ∑ − ≥ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = k k k i n i k k E ∪ f f 往证在 C Eδ 上, { }n f 一致收敛于 f . 事实上, 由 De Morgan 公式得 1 1 1 { } { }, 1. k k C i i k in in E ff ff k k k δ ∞∞ ∞ == = = −< ⊂ −< ≥ ∩∩ ∩ (1) 对任意 ε > 0 取 k 足够大使得 . 1 < ε k 则由(1)式知道,当 nk i ≥ 时对一切 C x ∈ Eδ , 有 . 1 ( ) − ( ) < < ε k f x f x i 即在 C Eδ 上{ }n f 一致收敛于 f .这就证明了 f f n a..un. → ■ 注 2 在叶戈洛夫定理中, 条件 µ(X ) < +∞ 不能去掉. 例如, 若令 ( ) ( ), [ , ) f x I x n = n +∞ n ≥ 1. 则{ }n f 在 1 R 上处处收敛于 0. 但容易知道{ }n f 不是几乎一致收敛于 0. 定理 4 若 µ(X ) < +∞, 则 f f n →a.e. 蕴涵 f f . n →µ 证明 设 µ(X ) < +∞ , . a.e. f f n → . 由引理 2 , 对任意ε > 0有 lim { } = 0. − ≥ ∞ = →∞ ∪ i n i n µ f f ε 由测度的单调性立即得到 ( ) − ≥ ≤ →∞ lim µ { f f ε} n n lim { } = 0. − ≥ ∞ = →∞ ∪ i n i n µ f f ε 即 f f . n →µ ■ 本节例 3 表明, 在定理 4 中, 条件 µ(X ) < +∞不能去掉. 定理 5 (Riesz)若 f f , n →µ 则存在{ }n f 的子列{ } nk f , 使得 . a.e. f f k n → 证明 设 f f . n →µ 对任意ε > 0和δ > 0 , 存在 N ≥ 1, 使得当n ≥ N 时, 有 µ({ f n − f ≥ ε}) < δ . 于是对任意自然数 k ≥ 1, 存在自然数 nk , 使得
(以-=b 我们可适当选取nk使得nk<nk,k=1,2,…往证f—.令 E },i=1,2 对任意x∈E,当k≥i时, fn, (x)-f(x)< 这表明{m}在E1上收敛于f.令E=UE,则{}在E上收敛于f.往证 (E)=0.由 De morgan公式,我们有 =∩E;=∩U4 利用(2容易得到(E)≤1.因此由测度的上连续性并且利用(2),我们有 (E)=1m小U-/2 m∑(n-12k) li 这就证明了f—/■ 几种收敛性之间的关系如图2-2 几乎处处收敛 (X)<∞ 存在子列f 叶戈洛夫定理 (X)< Riese定理 几乎一致收敛 依测度收敛 定理5给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系.利用这种联系,常常可以把依测度
80 . 2 1 }) 1 ({ n k k f f k µ − ≥ < (2) 我们可适当选取 nk 使得 nk < nk+1 , k = 1, 2,". 往证 . a.e. f f k n → 令 ∩ }, 1, 2," 1 = { − < = ∞ = i k E f f k i i nk . 对任意 Ei x ∈ , 当k ≥ i 时, . 1 ( ) ( ) k f x f x nk − < 这表明 { } nk f 在 Ei 上收敛于 f . 令 . 1 ∪ ∞ = = i E Ei 则 { } nk f 在 E 上收敛于 f . 往 证 ( ) 0. C µ E = 由 De Morgan 公式, 我们有 }. 1 { 1 1 ∩ ∩∪ ∞ = ∞ = ∞ = = = − ≥ i ii k n c i c k E E f f k 利用(2)容易得到 1 ( ) 1. C µ E ≤ 因此由测度的上连续性并且利用(2), 我们有 0. 2 1 lim }) 1 lim ({ }1 ( ) lim { ≤ = ≤ − ≥ = − ≥ ∑ ∑ ∞ = →∞ ∞ = →∞ ∞ = →∞ k i k i k i n i k i n i c k f f k E f f k k µ µ µ ∪ 这就证明了 . a.e. f f k n → ■ 几种收敛性之间的关系如图 2—2 图 2—2 定理 5 给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系. 利用这种联系, 常常可以把依测度 几乎处处收敛 几乎一致收敛 依测度收敛 µ(X ) < ∞ 叶戈洛夫定理 µ(X ) < ∞ 存在子列 nk f Riese 定理