分布函数的性质 分布函数F(x)=P(X≤x)具有以下性质 口F(x)是单调不减函数。 口0≤F(x)≤1且 F(-∞)=limF(x)=0 x→-0 F(+0)=limF(x)=1 x→0 口F(x)是右连续的,即 lim F(x)= F(xo) x→X 反之,任一具有以上三性质的函数必是某随机变量的 分布函数
分布函数的性质 分布函数𝑭 𝒙 = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙)具有以下性质： 𝑭(𝒙)是单调不减函数。 𝟎 ≤ 𝑭 𝒙 ≤ 𝟏且 𝑭 −∞ = lim 𝒙→−∞ 𝑭 𝒙 = 𝟎 𝑭 +∞ = lim 𝒙→∞ 𝑭 𝒙 = 𝟏 𝑭(𝒙)是右连续的，即 lim 𝒙→𝒙𝟎 + 𝑭 𝒙 = 𝑭 𝒙𝟎 反之，任一具有以上三性质的函数必是某随机变量的 分布函数。 11
例 口设随机变量X的分布函数为 F(x=a+barctgx(oo< x< +oo) 试求常数A、B. 解:由分布函数的性质,我们有 0=lim F(x)=lim (A+ Barctgx)=A-B x T 1= lim F(x)= lim(A+barctgx)=A+B x→+Q x→+0 解方程组得:A=1,B=1 T
例 设随机变量𝑿的分布函数为 𝑭 𝒙 = 𝑨 + 𝑩 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 −∞ < 𝒙 < +∞ 试求常数𝑨、𝑩. 解：由分布函数的性质，我们有 𝟎 = lim 𝒙→−∞ 𝑭 𝒙 = lim 𝒙→−∞ 𝑨 + 𝑩 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 = 𝑨 − 𝝅 𝟐 𝑩 𝟏 = lim 𝒙→+∞ 𝑭 𝒙 = lim 𝒙→+∞ 𝑨 + 𝑩 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 = 𝑨 + 𝝅 𝟐 𝑩 解方程组得：𝑨 = 𝟏 𝟐 , 𝑩 = 𝟏 𝝅 12
连续型随机变量 口元件寿命,到达时刻等随机变量的取值可以是 某个区间内的一切实数,这样的随机变量属于 连续型随机变量
连续型随机变量 元件寿命，到达时刻等随机变量的取值可以是 某个区间内的一切实数，这样的随机变量属于 连续型随机变量。 13
连续型随机变量定义 口设X为随机变量,F(x)为X的分布函数,若存在 非负函数p(x)使对于任意实数x有 F(r)= p(t) dt 则称X为连续型随机变量,其中p(x)称为X的概率 密度函数,简称密度函数。 口p(x)基本性质 口对于任意的x,p(x)≥0 a op(odx=1
连续型随机变量定义 设𝑿为随机变量，𝑭(𝒙)为𝑿的分布函数，若存在 非负函数𝒑 𝒙 ,使对于任意实数𝒙有 𝑭 𝒙 = න −∞ 𝒙 𝒑(𝒕) 𝒅𝒕 则称𝑿为连续型随机变量，其中𝒑(𝒙)称为𝑿的概率 密度函数，简称密度函数。 𝒑(𝒙)基本性质 对于任意的𝒙,𝒑 𝒙 ≥ 𝟎 ∞− ∞ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 14
连续型rv.F(x),p(x)性质 口(1)F(x)是连续函数 证:p(x)可积,则F(x)=」p(x)dx连续 口(2)P(x1<X≤X2)=F(x2)-F(x1)=/2p(xdx 证:P(x1<Ⅹ≤X2)=F(x2)-F(x1)= CZ P(x dx- h p(xdx= p(x)dx
连续型r.v. 𝑭 𝒙 , 𝒑(𝒙)性质 (1) 𝑭(𝒙)是连续函数 证：𝒑(𝒙)可积，则𝑭 𝒙 = ∞− 𝒙 𝒑(𝒙)𝒅𝒙连续. (2)𝑷 𝒙𝟏 < 𝑿 ≤ 𝑿𝟐 = 𝑭 𝒙𝟐 − 𝑭 𝒙𝟏 = �𝒙� 𝒙𝟐 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 证： 𝑷 𝒙𝟏 < 𝑿 ≤ 𝑿𝟐 = 𝑭 𝒙𝟐 − 𝑭 𝒙𝟏 = ∞− ∞− − �𝒅� �� �� �𝒙� �𝒙� = �𝒅� �� �� �𝒙� 𝒙𝟐 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 15