第三节分块矩阵及其运算 1分块矩阵的概念 对于矩阵A,采用一种分法,即用若干条纵线和横线分成 些小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形 式上的矩阵称为分块矩阵.在进行行数与列数较大的矩阵 的运算时,常将矩阵分块,以便使运算简化 例如3×4矩阵 1a12a13al14 4 31a32a33434 分成子块的分法很多,下面举出其中的三种分法 2
1. 分块矩阵的概念 对于矩阵A，采用一种分法，即用若干条纵线和横线分成一 些小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形 式上的矩阵称为分块矩阵 ．在进行行数与列数较大的矩阵 的运算时，常将矩阵分块，以便使运算简化． 例如 3×4矩阵 分成子块的分法很多，下面举出其中的三种分法． （1） ， = 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a A 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a 第三节 分块矩阵及其运算
(2) 12 13 14 24 由分法(1)可以得出22的分块矩阵 其中 2 13 11 C 2122 324 C
（3） ． 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a （2） ， 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a 由分法（1）可以得出22的分块矩阵 其中 = 21 22 11 12 A A A A A = 21 22 11 12 11 a a a a A = 23 24 13 14 12 a a a a A ( ) A21 = a31 a32 ( ) A22 = a33 a34
即A1 5412,421,422 为A的子块,而A是以这些子块为元素的形 式上的矩阵.类似地,也可以写出对应于分法(2)及(3) 的分块矩阵.矩阵分块时,要适当地选择分法,使一些子块 为便于运算的特殊矩阵,如单位矩阵,零矩阵,上(下)三 角形矩阵等 例如,对矩阵 002 A=0 选择如下的分法 10 02 01 A 00 便可以得分块矩阵 A=
即 为A的子块，而A是以这些子块为元素的形 式上的矩阵．类似地，也可以写出对应于分法（2）及（3 ） 的分块矩阵．矩阵分块时，要适当地选择分法，使一些子块 为便于运算的特殊矩阵，如单位矩阵，零矩阵，上（下）三 角形矩阵等． 例如，对矩阵 11 12 21 22 A , A , A , A = − 0 0 4 1 0 1 1 3 1 0 0 2 A 选择如下的分法 便可以得分块矩阵 − = 0 0 4 1 0 1 1 3 1 0 0 2 A = 12 2 2 1 A I A A 0
其中A1 还有一些常用的分块矩阵,我们介绍其中的几种 在矩阵A=(qn) 中,以它的行为子块,可得m×1 h×n 分块矩阵 其中 2
其中 , ． − = 1 3 0 2 A1 (4 1) A2 = 还有一些常用的分块矩阵 ，我.们介绍其中的几种． 在矩阵 中，以它的行为子块,可得 分块矩阵 , ( ) m n ij A a = m1 = m 2 1 a a a A 其中 , . ( ) ai = ai1 ai2 ai n (i =1,2, ,m)
在矩阵A=)n中,以它的列为子块,可得1×n分块矩阵 其中b1=(aa2 ),(=12,…n) 设A为n阶矩阵,如果A的主对角线上的子块都是矩阵,其 余子块都是零矩阵,即 其中A(=12,…s)都是方阵,那么A称为分块对角 矩阵(或者准对角矩阵) 显然,对角矩阵是特殊的分块对角矩阵
在矩阵 中 ,以它的列为子块，可得 分块矩阵 ， 其中 ， ． 设A为n阶矩阵，如果A的主对角线上的子块都是矩阵，其 余子块都是零矩阵，即 其中 都是方阵，那么 A称为分块对角 矩阵（或者准对角矩阵）． 显然，对角矩阵是特殊的分块对角矩阵． ( ) m n ij A a = 1 n ( ) A b b bn , , , = 1 2 ( ) bj = a1 j a2 j amj ( j =1,2, ,n) = As A A A 2 1 A (i s) i =1, 2,